Диагональная каноническая форма
Особое место в методе пространства состояний занимает диагональная каноническая форма (ДКФ). Она требует разложения передаточной функции динамической системы на элементарные составляющие. При этом следует выделить два случая: когда все полюсы различные и когда имеются кратные полюсы. Рассмотрим сначала вариант некратных корней знаменателя ПФ. Пусть передаточная функция имеет следующий вид: Её можно представить в виде суммы элементарных составляющих первого порядка: где - корни знаменателя (полюсы) ПФ. Коэффициенты определяются с помощью вычетов: Для составляющей разложения (4.17) можно построить элементарную РМ (рис. 4.14); используя метод интегрирования старшей производной:
Рис. 4.14 Коэффициент можно переместить на выход этой модели, что обычно и делается. Используя элементарные РМ и разложение 4.17 можно построить искомую РМ, представленную на рис. 4.15.
Рис. 4.15 По данной РМ легко определить уравнения состояния: ……………………………………………… или в векторно-матричной форме ΛX+bu, (4.20) y=cTX+du, (4.21) где Λ ; ; ; d=c0 . Для получения ДКФ можно воспользоваться специальной функцией MatLab canon(w,’model’), где w – модель ПФ w(s), ‘model’ – модификатор диагональной формы, однако выражения для и отличаются от полученных в (4.20), (4.21) за счёт перераспределения коэффициентов при сохранении Пример 4.3. Определить ДКФ для динамической системы, заданной передаточной функцией
Полюсы в этой ПФ очевидно равны: поэтому можно записать
где Отсюда Передаточные функции САУ очень часто имеют комплексно-сопряжённые полюса, которые определяют в итоге колебательность переходных характеристик системы. РМ колебательного звена с передаточной функцией
Рис. 4.16 Можно показать, что ПФ этой структуры равна т.е. это ПФ колебательного звена, где При этом коэффициенты можно объединить, но для согласованности с результатом функции canon(w,’modal’) целесообразно оставить указанный вид без изменения. По РМ колебательного звена можно определить уравнения состояния т.е. имеем Следует обратить внимание на клеточную структуру матрицы , на диагонали которой расположены вещественные части полюсов ПФ w(s). Пример 4.4. Используя функцию canon получить ss – модель в пространстве состояний для динамической системы с передаточной функцией >> W=tf(3.1,[0.00015, 0.0085, 0.16, 1 ,3.1]); >> sys=canon(W,'modal') a = x1 x2 x3 x4 x1 -24.41 7.474 0 0 x2 -7.474 -24.41 0 0 x3 0 0 -3.928 4.036 x4 0 0 -4.036 -3.928
b = u1 x1 1.381 x2 16.39 x3 -1.761 x4 4.888
c = x1 x2 x3 x4 y1 0.2856 0.193 2.02 0
d = u1 y1 0 Continuous-time model. Результаты решения показывают, что ПФ имеет две пары комплексно-сопряжённых корней: 24.41 7.474, 3.928 4.036. Иногда передаточная функция может содержать кратные полюсы. Это самый трудный вариант определения уравнений состояния в форме ДКФ. Если имеется кратных полюсов, то разложение на сумму простых дробей осуществляется с использованием вычетов в следующем виде где
Пример 4.5. Получить уравнения состояния динамической системы по её ПФ
Очевидно ПФ имеет два кратных и один простой полюсы Исходя из этого, разложение ПФ на сумму элементарных составляющих имеет следующий вид т.е. в (4.22) r=2 и соответственно Разложение (4.23) позволяет построить РМ, представленную на рис. 4.17.
Рис. 4.17 Данная РМ описывается следующей системой уравнений состояния:
Следует отметить, что в матрице появился специфический блок, выделенный пунктиром. Он называется клеткой Жордана, в связи с чем полученная форма уравнений состояния часто называется канонической формой Жордана с матрицей В общем случае для r кратных корней фрагмент матрицы J имеет следующую структуру:
Т.е. клетка Жордана имеет единичную наддиагональ размером r-1.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (976)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |