Лекция 12. Момент импульса. Квантовый ротатор

Поэтому можно ввести оператор момента импульса:

. (2.46)

Декартовы компоненты этого оператора:

(2.46a)

В сферических координатах операторы:

С помощью выписанных соотношений получаем выражения для проекций оператора момента импульса в сферических координатах:

, (2.47a)

, (2.47б)

. (2.47в)

(2.48)

Оператор оператор Лежандра.

Определим собственные функции и собственные значения операторов и . По общим правилам:

. (2.49)

Собственные значения определяют возможные проекции вектора момента импульса на ось .

. (2.49a)

Отсюда решение:

, (2.49б)

где С – постоянная, определяемая условием нормировки. Функция является периодической с периодом и ограниченной. Условие однозначности волновой функции требует, чтобы ее значение через период повторилось: . Отсюда следует: . Это приводит к квантованным значениям проекции вектора момента импульса на ось :

. (2.50)

Целое число магнитное квантовое число(Зоммерфельд, 1916).

. Аналогично формулируется задача на собственные значения оператора :

, (2.52)

где – наблюдаемые значения квадрата модуля вектора момента импульса. Согласно (2.48) задача (2.52) совпадает с задачей на собственные значения оператора Лежандра:

, (2.53)

так что

. (2.53a)

Собственные значения оператора Лежандра можно найти с помощью следующего приема: рассмотрим уравнение Лапласа для функции в сферических координатах:

, (2.54)

где – оператор Лежандра (2.48). Решение, не обращающееся в бесконечность при , ищется в виде:

, (2.54a)

где положительное целое число = 0, 1, 2, …Тогда из (2.54):

. (2.54б)

Таким образом, . Следовательно,

, (2.55)

т.е. величина (длина) вектора момента импульса принимает дискретный набор значений в зависимости от значений числа . Это число - азимутальное, или орбитальное квантовое число.

Собственные функции оператора квадрата момента импульса - шаровые функции:

, (2.56)

В (2.56) число - магнитное квантовое число. При фиксированном значении квантового числа число принимает значений:

. (2.56б)

Задание точного значения проекции означает, что угол при этом являетсянеопределенным. Так как модуль (длина) вектора момента импульса также задана точно, то вектор момента импульса оказывается расположенным на поверхности конуса (рис.2.16). Угол при вершине этого конуса определяется соотношением:

. (2.58)

Так как азимутальный угол не имеет определенного значения, то проекции являются неопределенными. Это значит, что операторы проекций вектора момента импульса не коммутируют друг с другом, но каждый из этих операторов коммутирует с оператором квадрата момента импульса.

Таким образом, можно говорить одновременно только о длине вектора момента импульса и одной из его проекций на некоторую выделенную ось.

В классической механике ротатор -это вращающаяся система жестко связанных друг с другом частиц. Кинетическуая энергия ротатора , где – квадрат вектора момента импульса, – момент инерции. В квантовом случае величина квантуется согласно (2.55). Таким образом, приходим к формуле, определяющей энергетический спектр вращательного движения (ротатора):

. (2.60)

Состояния ротатора описываются с помощью волновых функций Эти функции определяются как азимутальным, так и магнитным квантовыми числами. Так как при заданном значении орбитального квантового числа магнитное квантовое число принимает различных значений, то столько же имеется различных волновых функций. Всем этим функциям отвечает одно и то же значение энергии (2.60). Состояния с некоторым значением энергии, которому соответствуют различные собственные функции, называются вырожденными состояниями.Число этих различных волновых функций называют кратностью вырождения состояний.Таким образом, каждое состояние ротатора является – кратно вырожденным.

Некоторые волновые функции состояний ротатора:

s–состояние

p–состояние , sin ;

проекция имеет определенное значение, при этом о проекциях на другие оси ничего сказать нельзя. Если мы захотим определить проекцию момента импульса на другое направление, то его также необходимо выделить, при этом предшествующее состояние будет разрушено и возникнет новое состояние, в котором при измерении будет определена опять только одна проекция.

Плотность вероятностей различных состояний ротатора определяется с помощью волновых функций (2.57) по общим правилам:

. (2.62)

В отличие от классического ротатора, движение которого является плоским, движение квантового ротатора характеризуется углами Тогда формула (2.62) описывает плотность вероятностей состояний ротатора на поверхности сферы. Элемент этой поверхности:

.

Формула (2.62) показывает, что плотность вероятностей не зависит от азимутального угла . Это позволяет использовать диаграммы с учетом формул (2.61).

Для получения пространственной картины нужно «прокрутить» диаграмму вокруг оси z. Из приведенных диаграмм видно, что в s–состоянии имеется одинаковая вероятность найти частицу в любом месте на поверхности сферы. Это как раз – то состояние, в котором все три проекции момента импульса имеют определенное, нулевое значение. В остальных случаях вероятность зависит от магнитного квантового числа. Например, для p–состояния (р–электроны) при значении вероятность максимальна в направлениях , тогда как при максимум вероятности соответствует , т.е. плоскости Как следует из формулы (2.58), при угол между вектором и осью z стремитсяк нулю. В этом проявляется принцип соответствия.