Лекция 7. Статистическая интерпретация волн де Бройля

Экспериментальное подтверждение существования волновых свойств электронов и других микрочастиц привело на первых порах к предположению, что электрон представляет собой волновой пакет.

Основания для этого: а) волновой пакет является пространственно локализованным образованием. Его область локализации можно отождествить с размерами частицы; б) групповая скорость волны де Бройля для частицы совпадает со скоростью ее движения.

Возражения против этих аргументов:

а) волновой пакет перемещается как целое, без изменения своей первоначальной формы, лишь при отсутствии дисперсии. волн Это отражается, например, в формуле (1.44) в том, что при ее выводе в (1.43а) отбрасывался третий член разложения, который описывает дисперсию. Если учесть этот отброшенный член, то окажется, что волновой пакет не сохраняет своей формы. Он расплывается со временем: более быстрые составляющие волны убегают вперед, а более медленные - отстают. В итоге происходит искажение волнового пакета и его расплывание. Нетрудно убедиться, что волна де Бройля обладает дисперсией. Например, в случае нерелятивистской частицы фазовая скорость волны де Бройля равна . Учет третьего члена разложения в формуле (1.43а) приводит к появлению в фазе волны (1.44) дополнительного члена, зависящего от времени: . Если центр пакета в начальный момент времени находится в точке , то изменение формы пакета произойдет за время , когда дополнительная фаза станет порядка : . Учитывая соотношения (1.45), отсюда получаем оценку для времени расплывания волнового пакета де Бройля:

. (1.67)

б) волны обладают тем свойством, что при падении на границу раздела двух сред волна частично отражается, а частично преломляется. В отношении электрона нет ни одного эксперимента, в котором бы проявлялась часть электрона, например, какая-то дробная величина его заряда. Во всех опытах всегда электрон выступает как целое со своим зарядом, массой. Так же, как целое, выступает фотон, например, в фотоэффекте, эффекте Комптона и др. Другими словами, в отличие от волн электрон, фотон и другие элементарные частицы обладают свойством неделимости.

Неправильным оказалось также предположение, что волновыми свойствами обладает только ансамбль – система большого числа электронов. волновые свойства присущи отдельному электрону. В этих опытах средний промежуток времени, разделяющий прохождение отдельных электронов через дифракционную систему, был примерно в 30 тысяч раз больше времени движения электрона внутри всего прибора. возникает дифракционная картина, которая оказывается такой же, как в опытах по дифракции интенсивных электронных пучков.

Рассмотрим теперь мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном. Пусть электроны падают на непрозрачный экран с двумя узкими параллельными щелями. Если расстояние между щелями порядка длины волны де Бройля, то за экраном на фотопластинке возникает дифракционная картина. Такая картина образуется и при последовательном прохождении сквозь щели отдельных электронов. Как частица, электрон может проходить только сквозь одну из щелей. Но на фотопластинке образуется дифракционная картина, характерная именно для двух щелей. при взаимодействии с экраном электрон ведет себя как волна. Поэтому он проходит одновременно через обе щели, так что невозможно указать, через какую именно щель прошел электрон. Когда же электрон сталкивается с фотопластинкой, то он ведет себя как частица. В этом и проявляется корпускулярно–волновой дуализм микрочастиц.

Мы можем лишь утверждать, что электрон либопопадет, либо не попадет в выбранную точку. Это значит, что предсказание о попадании дифрагировавшего электрона на фотопластинку носит вероятностный характер. На этом основании говорят, что волна де Бройля является волной вероятности.Она определяет вероятность того, что электрон находится в некоторой области пространства вблизи рассматриваемой точки. Функция, описывающая вероятное местоположение электрона, называется волновой,или – функцией- описывает возможные состояния его движения.

Можно считать, что величина представляет собой плотность вероятности того, что частица находится вблизи точки в момент времени . Вероятность обнаружить частицу в элементе объема вблизи этой точки равна:

, (1.68)

где – комплексно–сопряженная волновая функция. Согласно формуле полной вероятности:

. (1.69)

Эта означает, что электрон (частица) обязательно где-то находится. В математическом отношении формула (1.69) представляет собой условие нормировкиволновой функции. Для существования интеграла (1.69) волновая функция должна удовлетворять необходимым условиям. Если в (1.69) интегрирование проводится по всему пространству, то волновая функция должна достаточно быстро убывать при удалении от начала координат:

при . (1.70)

Это – естественное граничное условие.Волновая функция описывается фундаментальным уравнением (уравнение Шредингера). Ясно, что волновая функция должна быть однозначной.

Рассмотрим снова опыт по дифракции электронов на двух щелях. Состояние электрона, пролетевшего через верхнюю щель (при закрытой нижней щели), , а состояние электрона, пролетевшего через нижнюю щель (при закрытой верхней) . Если открыты обе щели, то состояние электрона описывается волновой функцией . Это отражает принцип суперпозиции состояний. Вероятность попадания электрона в эту точку на экране при обеих открытых щелях определяется . Отсюда видно, что вероятность события 1+2 не равна сумме вероятностей событий 1 и 2, т.е. при попадании на фотопластинку складываются не интенсивности волн де Бройля, а их амплитуды – волновые функции. Принцип суперпозиции состоит в следующем: если в данных условиях существуют квантовые состояния, которые описываются волновыми функциями , то существует также состояние, описываемое волновой функцией .

Рассмотрим две системы. Пусть вероятности одной из них описываются волновой функцией , а другой – функцией . Если эти системы независимы, то распределение вероятностей для всей системы в целом равно произведению вероятностей отдельных систем: .

Если задана некоторая функция для микрочастицы, состояния которой описывается волновой функцией , то среднее значение при условии нормировки (1.69) по общим правилам теории вероятностей определяется формулой:

. (1.71)

Например, среднее значение координаты частицы вдоль оси х вычисляется по формуле:

. (1.71а)

Аналогично можно определить дисперсию координаты

. (1.71б)