Лекция 11. Линейный гармонический осциллятор

При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания являются гармоническими, так что потенциальная энергия колебаний равна (рис.2.11):

. (2.38)

При больших отклонениях формула (2.38) теряет силу, так как в этом случае становятся существенными эффекты ангармонизма. Модельный характер рассматриваемой задачи состоит в том, что этими эффектами пренебрегают. Согласно (2.38), значения могут быть бесконечно большими. Это значит, что

Рис.2.11 для волновой функции необходимо выбирать естественное граничное условие:

при . (2.39)

Обозначая и вводя также обозначения:

, (2.39a)

запишем уравнение Шредингера (2.11) с потенциальной энергией (2.38) в виде:

. (2.40)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (2.39), ищут в виде:

, (2.41)

где функцию необходимо найти. Подставляя (2.41) в (2.40), получаем уравнение

. (2.42)

Решение уравнений такого типа ищут в виде ряда

, (2.42a)

где – постоянные коэффициенты. После дифференцирования (2.42а) и подстановки в (2.42) необходимо далее приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . Так можно получить рекуррентное соотношение между коэффициентами :

. (2.42б)

Анализ сходимости бесконечного ряда (2.42а) с коэффициентами (2.42б) показывает, что этот ряд расходится, растет быстрее, чем . Это значит, что волновая функция (2.41) также расходится. Это противоречит естественному граничному условию. Для существования волновой функции, убывающей при бесконечно больших значениях аргумента, необходимо потребовать, чтобы функция в (2.42а) представляла собой не бесконечный ряд, а полином степени . Тогда функция (2.41) будет убывать при . Итак, допустим, что ряд (2.42а) является полиномом степени . В этом случае отличны от нуля коэффициенты , а все другие коэффициенты должны обращаться в нуль. Для этого согласно (2.42б) необходимо, чтобы выполнялось условие . Отсюда, учитывая обозначения (2.39а), получаем формулу для энергетического спектра гармонического осциллятора

.(2.43)

Квантование энергии здесь автоматически возникает в результате требования ограниченности и естественного убывания волновой функции на бесконечности. Формула (2.43) принципиально отличается от постулированной Планком формулы для энергии осциллятора. По Планку энергия осциллятора в основном состоянии равна нулю. Согласно же (2.43) в основном состоянии энергия . Это энергия нулевых колебаний.

В возбужденных состояниях квантовые и классические вероятности также отличаются друг от друга. Однако с увеличением квантового числа количество максимумов квантовых вероятностей возрастает, и в пределе очень больших чисел огибающая максимумов повторяет характер классической кривой вероятности .

В этом проявляется принцип соответствия. Вернемся к основному состоянию. Наличие энергии нулевых колебаний связано с неуничтожимостью движения. Это принципиально отражается в соотношении неопределенностей Гейзенберга. В самом деле, если бы в основном состоянии осциллятора его энергия была бы равна нулю, то это означало бы, что частица покоится, т.е. ее импульс равен нулю. Но тогда одновременно можно было бы точно определить также положение частицы, что противоречит соотношению неопределенностей.