Задача, касающаяся рекламы

Игры в нормальной форме с тремя и более игроками требуют более сложного анализа, чем игры с двумя игроками.

Рассмотрим следующую задачу, с которой могут встретиться наши три предприятия: «Чайка», «Сокол» и «Утро». Предположим, что каждое из них разрабатывает по одному виду ПО. Среди других способов рекламы своих продуктов предприятия могут воспользоваться рекламой на телевидении. Рассмотрим, к примеру, возможность демонстрации рекламного ролика вечером (в prime time) либо утром. Далее будем касаться лишь эффективности этих видов рекламы и притом применительно к контингенту тех покупателей, которые смотрят вечерние телепередачи в среднем вдвое чаще, чем утренние. Кроме того, потенциальные клиенты, увидев в одном рекламном ролике продукты двух конкурирующих предприятий, не склонятся к покупке ни одного из них, т. е. таким образом мы сформулируем условие задачи.

Таким образом, с одной стороны, каждое предприятие заинтересовано в вечерней рекламе (ибо она по сравнению с утренней завербует большее число покупателей), а с другой – в том, чтобы не участвовать одновременно с другим предприятием в одном рекламном ролике (ибо тогда оба одновременно участвующие в рекламе предприятия только дезориентируют покупателей и реклама останется без ответа). Обратим внимание на то, что здесь для каждого предприятия в отдельности имеется объективно наилучший способ действий: реклама на телеканале вечером. Однако как только этот способ действий избирает более чем одно предприятие, он уже становится бесполезным.

Хочется еще раз отметить, что существуют условия задачи и то, ЧТО не предусмотрено в условиях задачи, не должно использоваться в ее решении. В частности, условия задачи не предусматривают получения от телеканалов информации, например, об уже поступивших заказах на рекламу. Равным образом мы имеем в виду вполне определенных покупателей выпускаемого товара.

Формализуем поставленную задачу, представив ее как игру в нормальной форме.

Участниками игры (игроками) являются здесь предприятия, которые мы для удобства обозначим через 1, 2 и 3. Напротив, ни покупатели, ни телевидение, хотя их интересы прямо или косвенно и отражены в условиях данной задачи, не действуют в условиях задачи вполне определенным образом и поэтому игроками считаться не могут.

Каждый игрок имеет в данном случае две стратегии: участвовать в утренней рекламной передаче (стратегия 1) и в вечерней (стратегия 2), поэтому в игре имеется ситуаций. На основании имеющегося опыта мы можем предвидеть, что в данной игре придется рассматривать также смешанные стратегии игроков и составлять из них ситуации. Введем эти понятия уже сейчас, до того как в этом возникла непосредственная необходимость.

Смешанная стратегия каждого игрока состоит в случайном выборе его стратегий 1 или 2. Обозначим через p₁ вероятность выбора игроком 1 его первой чистой стратегии. Очевидно, p₁ может принимать любое значение от 0 до 1. При этом p₁= 1 соответствует случаю, когда игрок 1 выбирает свою первую чистую стратегию с вероятностью 1, а p₁= 0 – случаю, когда он выбирает первую чистую стратегию с вероятностью 0 (т. е. на самом деле выбирает вторую чистую стратегию).

Аналогично через р₂ обозначим вероятность выбора первой чистой стратегии игроком 2, а через р₃ – вероятность выбора первой стратегии игроком 3.

Ситуациями в смешанных стратегиях будут всевозможные комбинации смешанных стратегий игроков, т. е тройки вида

, где . (6.4)

Очевидно что ситуациям в чистых стратегиях соответствуют тройки, состоящие из нулей и единиц, и только они.

Как известно, множество всех троек вида (6.4) естественно описать как «единичный» куб в системе координат (рис. 6.1). В этом описании ситуации в чистых стратегиях соответствуют вершинам куба.

Рис. 6.1

Перейдем к выигрышам игроков. В ситуациях в чистых стратегиях (описываемых, как указывалось, тройками из нулей и единиц) только тот игрок получит какой-либо положительный выигрыш, чья компонента тройки отличается от всех остальных. При этом, если его компонента оказывается равной нулю, то он получает 2, а если единице, то 1. Так:

игрок 1 в ситуации (1, 0, 0)получит 1,

а в ситуации (0, 1, 1) – 2. (6.5)

Выигрыши игроков в каждой ситуации также составляют тройки чисел. Эти тройки выигрышей в рассматриваемой ситуации в чистых стратегиях записаны на рис. 6.1 при соответствующих вершинах куба.

В каждой ситуации в смешанных стратегиях игрок получает случайный выигрыш, который измеряется ожидаемым выигрышем. Напомним, что ожидаемый выигрыш определяется как сумма произведений каждого возможного выигрыша на его вероятность. Если мы имеем дело с ситуацией в смешанных стратегиях, описываемой тройкой , то в данных условиях каждая из ситуаций в чистых стратегиях имеет некоторую вполне определенную вероятность, которую легко подсчитать. Так ситуация (1, 0, 0) имеет вероятность , ситуация (0, 1, 1) имеет вероятность

, (6.6)

ситуация (1, 1, 1) имеет вероятность и т.п.

Следовательно, ожидаемый выигрыш игрока 1 в ситуации в смешанных стратегиях согласно выражениям (6.5) и (6.6) будет равен:

(6.7)

В силу аналогичных причин ожидаемый выигрыш игрока 2 в этой ситуации будет равен , а выигрыш игрока 3 – .

Найдем оптимальные исходы описанной игры. В качестве таковых, как и в других играх в нормальной форме, будем рассматривать ситуации равновесия.

Ранее мы определили ситуацию равновесия как такую ситуацию, отклонения от которой невыгодны ни одному из игроков, т. е. в которой его (ожидаемый) выигрыш не меньше, чем будет его (ожидаемый) выигрыш после его отклонения от этой ситуации, при условии, что остальные игроки не изменят своих стратегий.

Далее перечислим все ситуации равновесия в рассматриваемой игре.

Сначала опишем ситуации равновесия, в которых один из игроков (пусть для определенности это будет игрок 1) выбрал какую-то свою чистую стратегию. Тогда для любого другого игрока (скажем, для игрока 2) наилучшим будет выбрать чистую стратегию, отличную от той, которую выбрал 1. Ни тому ни другому в данном случае не будет оснований отклоняться от своей стратегии. Третьему игроку в этих условиях будет совершенно безразлично, какую стратегию выбрать: при любых действиях он не получит ничего, так что любое изменение его стратегии не послужит его выгоде (как, впрочем, не нанесет ему и ущерба).

Таким образом, в рассматриваемой игре все ситуации равновесия, в которых хотя бы один игрок выбирает чистую стратегию, имеют следующую характеристику: два любых игрока выбирают различные чистые стратегии, а оставшийся выбирает любую свою стратегию, чистую или смешанную. Геометрическое место таких ситуаций на кубе всех ситуаций отмечено жирной линией, проходящей по шести ребрам куба (см. рис. 6.1).

Отметим следующее. Как упоминалось ранее, ситуацию равновесия можно понимать как условия «самособлюдающегося» договора. Если два игрока договорятся играть различные чистые стратегии, то третий не выигрывает ничего (несмотря на любые предпринятые действия), в то время как один из договорившихся обязательно будет выигрывать. Единственно, на что может при этом повлиять третий, так на то, кто именно из договорившихся выиграет. Вместе с тем мы имеем дело с «симметричной» игрой: все три игрока входят в рассматриваемую игру совершенно равноправно. В связи с этим справедливость требует искать такие ситуации равновесия, в которых выигрыши игроков равны (из общих теоретических соображений следует, что такие ситуации равновесия в «симметричных» играх всегда имеются).

Ранее были описаны все ситуации равновесия, в которых хотя бы один из игроков имеет чистую стратегию. Обратимся теперь к перечислению остальных ситуаций равновесия, в которых все участвующие стратегии смешанные. Пусть – такая ситуация равновесия, что в ней .

Запишем условия равновесности ситуации аналитически.

Заметим для этого прежде всего, что по условию равновесности выигрыш игрока 1 в этой ситуации не должен увеличиться при замене р₁ на 0 и на 1:

(6.8)

(6.9)

Отсюда следует, что выигрыш 1 в ситуации не увеличится при замене р₁ на произвольное . Действительно, умножая неравенство (6.8) почленно на , а неравенство (6.9) – на р₁ и складывая, получаем:

.

Итак, неравенства (6.8) и (6.9) являются условиями «приемлемости» ситуации для игрока 1. Преобразуем путем приведения подобных членов эти условия к более удобному виду:

,

.

Но ввиду того что по предположению , в этих неравенствах можно произвести сокращение, в результате чего получим:

,

, т. е.

. (6.10)

Но все три игрока входят в игру симметрично. В этой связи, проводя аналогичные рассуждения, получаем , .

В результате перемножения этих трех равенств получим:

,

или

(6.11)

Ввиду положительности всех чисел р_i и 1-p_i при извлечении корня можно ограничиться его арифметическим значением. Разделим теперь выражения (6.11) на (6.10): откуда . Так же получается, что .

Выигрыш каждого игрока в этой ситуации равновесия теперь может быть подсчитан по формуле (6.7). Он оказывается равным

Ситуацию (0,41, 0,41, 0,41) (на рис. 6.1 она отмечена точкой внутри куба) можно принять в качестве единственных условий справедливого и устойчивого договора в рассматриваемой игре. Справедливость этой ситуации состоит в равенстве выигрышей игроков в ней, а устойчивость – в равновесности. Вместе с тем выгодной эта ситуация не является: все три игрока получают в данном случае 1,23 единицы.

Наиболее выгодными в рассматриваемой игре будут ситуации, в которых один из игроков дает рекламу вечером, а два других – утром (или не дают ее вообще). При этом суммарный выигрыш игроков будет равен двум единицам.

Вообще, возможно найти ситуацию с диаметрально противоположными интересами участников, которые описывались бы неантагонистическими играми, и даже решение их не сводилось бы к решению антагонистических игр.

Определение 6.6. Бескоалиционная игра Г называется полиантагонистической, если имеется такое разбиение , что для любой ситуации x для всех и . Полиантагонистические игры составляют существенно более многочисленный класс, чем антагонистические.