Распределение рабочих бригады по выработке и стажу работы

Для уточнения формы связи между рассматриваемыми признаками используй графический метод. Нанеси на график точки, соответствующие значениям х, у, получится корреляционное поле, а соединив их отрезками, - ломанная регрессия. (рис.1).

Анализируя ломанную линию, можно предположить, что возрастание выработки у идет равномерно, пропорционально росту стажа работы рабочих х. В основе этой зависимости в данных конкретных условиях лежит прямолинейная связь (см. пунктирную линию на рис. 1), которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

= а₀ + а₁х ,

где – теоретические расчетные значения результативного признака (выработки одного рабочего, шт.), полученные по уравнению регрессии;

а₀, а₁ – неизвестные параметры уравнения регрессии;

х – стаж работы рабочих, годы.

Рис.1 Зависимость выработки одного рабочего у от стажа работы х

(по данным таблицы 1)

Пользуясь расчетными значениями (см. табл. 1), исчислите параметры для данного уравнения регрессии:

;

.

Следовательно, регрессионная модель распределения выработки по стажу работы для данного примера может быть записана в виде конкретного простого уравнения регрессии:

= 4,0 + 0,6х.

Это уравнение характеризует зависимость среднего уровня выработки рабочими бригады от стажа работы. Расчетные значения , найденные по данному уравнению, приведены в таблице1. Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм ∑у = ∑ (при этом возможно некоторое расхождение вследствие округления расчетов).

Пример 2.Рассмотрите вспомогательную таблицу (табл.2).

Таблица 2.

Расчетные значения, необходимые для исчисления δ_ост, δ_х

Средние квадратические отклонения (см. табл.1):

Расчетные значения t – критерия Стьюдента:

По таблице распределения Стьюдента для ν = 8 находим критическое значение t – критерия: (t_табл= 3,307 при α = 0,05).

Поскольку расчетное значение t_расч > t_табл , оба параметра а₀ , а₁ признаются значимыми (отклоняется гипотеза о том, что каждый из этих параметров в действительности равен нулю, и лишь в силу случайных обстоятельств оказался равным проверяемой величине).

Проверка адекватности регрессивной модели может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту корреляционной связи между переменными х и у. Теснота корреляционной связи, как и любой другой, может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением η_э, когда δ² (межгрупповая дисперсия) характеризует отклонения групповых средних результативного признака от общей средней: .

Говоря о корреляционном отношении как о показателе измерения тесноты зависимости, следует отличать от эмпирического корреляционного отношения – теоретическое.

Теоретическое корреляционное отношение η представляет собой относительную величину, получающуюся в результате сравнения среднего квадратического отклонения выровненных значений результативного признака δ, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии, со средним квадратическим отклонением эмпирическим (фактических) значений результативного признака σ:

,

где ; .

Тогда . (1)

Изменение значения η объясняется влиянием факторного признака.

В основе расчета корреляционного отношения лежит правило сложения дисперсий, т.е. , где – отражает вариацию у за счет всех остальных факторов, кроме х , т.е. является остаточной дисперсией:

.

Тогда формула теоретического корреляционного отношения примет вид:

, (2)

или (3)

Подкоренное выражение корреляционного отношения представляет собой коэффициент детерминации (меры определенности, причинности).

Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается двумя способами (см. данные табл.2):

по формуле (1) ;

по формуле (3) .

Полученное значение теоретического корреляционного отношения свидетельствует о возможном наличии весьма тесной прямой зависимости между рассматриваемыми признаками.

Коэффициент детерминации равен 0,925. Отсюда заключаем, что 92,5% общей вариации выработки в изучаемой бригаде обусловлено вариацией фактора – стажа работы рабочих (и только 7,5% общей вариации нельзя объяснить изменением стажа работы).

Кроме того, при линейной форме уравнения применяется другой показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции:

, (4)

где n – число наблюдений.

Для практических вычислений при малом числе наблюдений, n ≤ (20 ÷ 30), линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

. (5)

Значение линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Он принимает значения в интервале: -1≤ r ≤ +1.

Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные – на прямую. При r = 0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И наконец, при r = ±1 связь – функциональная.

Используем данные табл. 1 и рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле (5):

.

Квадрат линейного коэффициента корреляции r² называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, т.е. 0 ≤ r² ≤ 1. Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.