Тема 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

ЗАДАЧИ

№ 1. Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Срок службы станков, лет	Число станков, шт.
вариант 1-й	вариант 2-й	вариант 3-й	вариант 4-й	вариант 5-й
До 4
4 – 6
6 – 8
8 – 10
Свыше 10
Итого

 

Определите для каждого варианта: 1) с вероятно­стью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в кото­рых ожидается средний срок службы металлорежущих стан­ков; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку репрезен­тативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет.

№ 2.С целью изучения выполнения норм выработки 5000 рабочими машиностроительного завода было отобрано в случайном порядке 1000 рабочих. Из числа обследован­ных 80% рабочих выполняют норму выработки на 100% и выше. Определите с вероятностью 0,997 ошибку выборки и возможные пределы доли рабочих завода, выполняющих и перевыполняющих норму выработки.

 

№ 3. По данным 2%-ного выборочного обследования (п=100) средняя урожайность зерновых культур равна 32 ц га. при дисперсии, равной 6,15. Определите ошибку вы­борки и возможные пределы средней урожайности зерновых культур со всей посевной площади с вероятностью: а) 0,954; б) 0,997.

№ 4. С целью определения среднего стажа работы ра­бочих завода произведена 20%-ная типическая пропорцио­нальная выборка (внутри групп применялся метод случай­ного бесповторного отбора). Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Группы рабочих по полу	Группы рабочих по стажу, лет
до 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 и выше	Итого
Мужчины
Женщины
Итого

 

Определите с вероятностью 0,954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться: а) средний стаж ра­боты всех рабочих; б) удельный вес рабочих со стажем до 5 лет.

 

№ 5. Из партии готовой продукции в 1000 шт. в случай­ном бесповторном порядке обследовано 100 шт., из которых продукция с сертификатом качества составила 85%. Опреде­лите вероятность того, что допущенная при выборочном об­следовании погрешность в оценке среднего процента про­дукции с сертификатом качества не превысит: а) 5%; б) 10%.

 

№ 6. В результате исследования 20 проб молока, посту­пившего из колхоза на молокозавод, определили, что сред­няя жирность молока 3,6% при среднеквадратическом откло­нении 0,5%. Какова вероятность того, что возможная ошиб­ка средней жирности поступившего молока не более 0,3%?

 

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 1. Для изучения оснащения заводов основными про­изводственными фондами было проведено 10%-ное выбороч­ное обследование, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	До 2	2 – 4	4 – 6	Свыше 6	Итого
Число заводов

 

Требуется определить: 1) с вероятностью 0,997 пре­дельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных произ­водственных фондов всех заводов генеральной совокупно­сти; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находить­ся удельный вес заводов со стоимостью основных производ­ственных фондов свыше 4 млн. руб.

Решение. Предельная ошибка выборки (ошибка репре­зентативности) исчисляется по формуле:

,

где μ – средняя ошибка репрезентативности;

t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.

Пределы возможной ошибки (∆) определяются с вероят­ностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей.

 

Для Соответствует вероятность

t = 1 Р =0,683;

t = 2 Р =0,954;

t = 3 Р =0,997 и т. д.

Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно чайной и механической выборок имеются нижеследующие формулы.

Повторная выборкапри определении:

среднего размера ошибки признака (1)

средней ошибки доли признака (2)

Бесповторная выборка при определении:

среднего размера ошибки признака (3)

средней ошибки доли признака (4)

N – численность генеральной совокупности;

п – численность выборочной совокупности;

s² – дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в выбороч­ной совокупности;

ω – доля данного признака в выборке;

(1 – ω) – доля противоположного признака в выборке.

1. Для определения границ генеральной средней необ­ходимо исчислить среднюю выборочную ( ) и дисперсию (s²), техника расчета которых приведена в таблице:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб., х	Число заводов, f	Середина интервала, х	х f	х -	(х - )2	(х - )2 f
До 2				-3,52	12,39	61,95
2 – 4				-1,52	2,31	27,72
4 – 6				0,48	0,23	5,29
Свыше 6				2,48	6,15	61,50
						156,46

 

Тогда

млн. руб.;

 

.

Для упрощения расчетов средней и дисперсии можно использовать способ моментов. Техника расчетов и s² по способу моментов изложена в первой части брошюры «Прак­тикум по общей теории статистики».

Итак имеются данные: N = 500, п = 50 заводов; s² = 3,13.

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой .стоимости основных фондов составит:

а) при повторном отборе (по формуле 1) –

 

≈ ± 0,25 млн. руб.;

б) при бесповторном отборе (по формуле 3) –

 

≈ ± 0,24 млн. руб.;

Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли до­пустить среднюю ошибку репрезентативности в 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном от­боре в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости ос­новных производственных фондов, приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные по­казывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).

В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3.

Исчислим предельную ошибку выборочной средней (∆_х): ∆_х = ±3μ; т. е. ∆_х = = ±3 × 0,25 = ±0,75 млн. руб. (при повтор­ном отборе); ∆_х = ±3 × 0,24 = ±0,72 млн. руб. (при бесповторном отборе).

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной со­вокупности в общем виде, может быть представлен следую­щим образом:

 

;

Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах.

а) при повторном отборе –

= 4,52 ± 0,25 или 4,27 млн. руб. ≤ ≤ 4,77 млн. руб.;

б) при бесповторном отборе –

= 4,52 ± 0,24 или 4,28 млн. руб. ≤ ≤ 4,76 млн. руб.

Эти границы можно гарантировать е вероятностью 0,997.

2. Вычисление пределов при установлении доли осуще­ствляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следу­ющим образом:

 

; ,

где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.

Доля заводов в выборочной совокупности со стоимость основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. со­ставляет:

 

, или 66%.

Определяем предельную ошибку для дели. По условию задачи известно, что N = 500; n = 5; ω = 0,66; Р = 0,954; t = 2.

Исчислим предельную ошибку доли:

при повторном отборе (по формуле 2) –

 

, или 13,4%;

при бесповторном отборе (по формуле 4) –

 

, или 12,7%.

Следовательно, с вероятностью 0,954 доля заведен се стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

р = 66% ± 13,4%, или 52,6% ≤ р ≤ 79,4% при повторном от­боре;

р = 66% ± 12,7%, или 53,3% ≤ р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.

Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при пов­торной выборке.

 

Пример 2. Используя данные предыдущей задачи, требуется ответить, каким должен быть объем выборочной совокупно­сти при условии, что: 1) предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производ­ственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5 млн. руб.; 2) то же при вероятности 0,954; 3) предель­ная ошибка доли (с вероятностью 0,954) была бы не более 15%.

Решение. Для нахождения численности случайной и.ме­ханической выборок имеются следующие четыре формулы: