Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение
При включении RL-цепи на напряжение порядок расчета остается прежним. Из второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации получаем уравнение переходного тока
, общее решение которого ищем в виде суммы двух составляющих:
. Принужденную составляющую определяем из конечного установившегося режима ( ). При синусоидальном напряжении ток установившегося режима также синусоидален и может быть рассчитан символическим методом:
,
. Свободную составляющую , определяемую внутренними запасами энергии, находим из решения однородного уравнения
. Решение этого уравнения не зависит от внешнего источника энергии и будет таким же, как и в предыдущем случае:
. В переходном токе
неизвестна постоянная интегрирования А. Записав начальное условие
находим постоянную интегрирования:
Зная постоянную А, запишем свободную составляющую
и переходный ток для любого момента времени
. (7.12) В состав переходного тока, зависящего от момента включения, входят две составляющие: - принужденная в виде синусоиды постоянной амплитуды; - свободная, экспоненциально убывающая во времени. Рассмотрим включение в крайние моменты конечного установившегося режима: - нулятока , возникающего при (запасенная энергия , поэтому , ); - максимуматока , возникающего при (запасенная энергия максимальна, поэтому максимальны амплитуды свободной составляющей и тока переходного процесса). Кривая переходного тока при и большой постоянной приведена на рис. 7.4. В течение первой половины периода после включения ток , определяющий запасы энергии в цепи, плавно изменяясь, достигает почти удвоенной амплитуды конечного установившегося режима, но двукратную величину превысить не может. С уменьшением постоянной време-ни t амплитуда переходного тока уме-ньшается.
7.2.3 Короткое замыкание RL-цепи При замыкании катушки (рис. 7.5) переходный ток удовлетворяет однородному уравнению:
. Принужденная составляющая, определяемая при , отсутствует:
, и переходный ток содержит только свободную составляющую, не зависящую от внешнего напряжения: . При в цепи протекал ток , cледова-тельно, постоянную интегрирования можно найти из уравнения
.
Зная постоянную А, находим переходный ток
(7.13) и напряжение на индуктивности
. Кривые и представлены на рис. 7.6. Ток в катушке, определяющий запасы энергии магнитного поля, плавно затухает от начального значения I0 до нуля. Напряжение , обеспечивая выполнение второго закона Кирхгофа, в момент коммутации возрастает скачком до максимума и далее затухает по экспоненте. Энергия , запасенная до коммутации в магнитном поле катушки, превращается в тепло за время переходного процесса:
.
7.2.4 Включение RС-цепи на постоянное напряжение
Переходный процесс в RC-цепи (рис. 7.7) рассмотрим применительно к напряжению на емкости , определяющему запасы энергии электрического поля. Из второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации получаем уравнение для переходного напряжения: , так как . Это – дифференциальное уравнение первого порядка, что связано с наличием в описываемой им цепи только одного элемента, способного накапливать энергию. Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы принужденной и свободной составляющих:
. Принужденную составляющую определяем из конечного установившегося режима ( ):
; свободную - из решения однородного уравнения:
.
Свободная составляющая содержит одно слагаемое:
где - корень характеристического уравнения
, равный: , где α – коэффициент затухания. Корню p соответствует постоянная времени переходного процесса
.
Выразив свободную составляющую через постоянную t :
,
представим переходное напряжение в виде
.
Из начальных условий (конденсатор не был заряжен)
находим постоянную интегрирования: . Зная постоянную А, представим в окончательном виде свободную составляющую
и переходное напряжение
. (7.14) Переходное напряжение и его составляющие приведены на Из графика переходного процесса следует, что напряжение uC,определяющее запасы энергии электрического поля, изменяется плавно от нуля до максимума, так же как и переходный ток iL(t), определяющий запасы энергии магнитного поля в RL-цепи при нулевых начальных условиях. Ток в RC-цепи не связан с запасами энергии и в момент коммутации возрастает скачком до максимума I0, а затем экспоненциально затухает во времени до нуля:
.
Переходное напряжение на активном сопротивлении uR(t) повторяет кривую тока i(t) (рис. 7.9).
7.2.5 Включение RС-цепи на синусоидальное напряжение
Переходный процесс в RC-цепи переменного тока зависит от момента включения. Пусть незаряженный конденсатор при включается на напряжение
. Из второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации получаем уравнение для переходного напряжения:
. Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы двух слагаемых:
. Принужденную составляющую определяем из расчета цепи в конечном режиме ( ) символическим методом:
где
Свободную составляющую находим из решения однородного уравнения
, ее вид не зависит от внешнего напряжения:
.
В переходном напряжении
неизвестна постоянная А. Записав начальное условие
,
находим постоянную интегрирования:
.
Зная постоянную А, можно записать свободную составляющую
и переходное напряжение для любого момента времени
. (7.15) Рассмотрим включение в моменты конечного установившегося режима: · нулянапряжения , возникающего при (запасы энергии , поэтому и ); · максимуманапряжения , возникающего при (запасы энергии максимальны, поэтому амплитуды свободной составляющей и напряжения uC максимальны). Кривая напряжения uC(t) при и достаточно большом t приведена на рис. 7.10. В течение первой половины периода после включения напряже-
7.2.6 Короткое замыкание RC-цепи
Найдем переходное напряжение при замыкании в момент заряженного до напряжения конденсатора емкостью С Переходное напряжение после коммутации удовлетворяет уравнению
.
Принужденную составляющую определяем при :
.
Переходное напряжение совпадает со свободной составляющей:
. Из начального условия находим: постоянную интегрирования
; переходное напряжение
(7.16) разрядный ток
Кривые и представлены на рис. 7.12. Напряжение на емкости, определяющее запасы энергии в цепи, плавно уменьшается от начального значения U0 до 0. Разрядный ток в момент коммутации возрастает скачком до максимума и затем экспоненциально затухает. Энергия , запасенная в электрическом поле до коммутации, за время переходного процесса превращается в тепло:
.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1245)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |