Частотный метод расчета

Частотный (спектральный) метод расчета переходных процессов применяют для линейных цепей при нулевых начальных условиях. Сигнал, поступивший на вход цепи, вызывает реакцию цепи в виде токов в ветвях и напряжений на элементах.

Расчет выполняют следующим образом:

1. Входное воздействие f(t) представляют функцией частоты F(jω), называемой спектральной характеристикой или спектром воздействия. Переход осуществляют с помощью прямого одностороннего преобразования Фурье

, (7.49)

т.е. входной сигнал заменяют его спектром:

Интеграл с бесконечным верхним пределом в (7.49) существует, если функция f(t) абсолютно интегрируема:

.

Спектр F(jω) определяет закон изменения комплексных амплитуд гармоник сигнала как функцию частоты и может быть представлен в показательной форме

(7.50)

где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); j(w)– фазочастотная характеристика (ФЧХ) воздействия.

Из сопоставления спектра F(jω) с изображением по Лапласу

следует, что одностороннее преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа:

.

Поэтому спектр F(jω) входного сигнала находят по формулам соответствия (см. табл. 7.1), заменяя в них оператор p на jω.

2. Определяют частотную характеристику (ЧХ) цепи, являющуюся отношением спектра реакции (выходного сигнала) к спектру воздействия.

При воздействии напряжения u(t) на вход двухполюсника реакцией является ток i(t) (рис. 7.20), следовательно, в качестве ЧХ двухполюсника можно рассматривать комплексные входные проводимость или сопротивление . ЧХ двухполюсника можно представить в показательной и алгебраической формах записи:

, (7.51)

где - АЧХ; - ФЧХ; G(ω) - вещественная частотная характеристика (ВЧХ): ; В(ω) - мнимая частотная характеристика (МЧХ) двухполюсника: .

Искомой реакцией в цепи может быть не только входной ток, но ток или напряжение любой ветви. Если реакцией является напряжение какой-то ветви, то цепь рассматривают как четырехполюсник, включенный на напряжение u₁(t) и нагруженный нужной ветвью u₂(t) (рис. 7.21). В этом случае частотной характеристикой цепи служит комплексная передаточная функция , которую можно представить в показательной и алгебраической формах записи:

, (7.52)

где - АЧХ; - ФЧХ;
G(ω) - ВЧХ: ;
В(ω) - МЧХчетырехполюсника:
.

Частотные характеристики соответствуют установившемуся режиму для гармоники с частотой w и могут быть определены:

- символическим методом расчета по известной схеме;

- экспериментально изменением частоты w входного сигнала от нуля до значения, при котором ЧХ перестает изменяться, приб-лижаясь к установившейся величине.

Возможность экспериментального определения частотных характеристик , , дает существенное преимущество частотному методу расчета переходных процессов в сложных цепях.

3. Рассчитывают спектр реакции по известному спектру воздействия и ЧХ цепи (рис. 7.22):

(7.53)

4. Обратный переход от спектра реакции к функции времени ( ) осуществляют с помощью:

- формул соответствия (см. табл. 7.1);

- теоремы разложения

; (7.54)

- обратного преобразования Фурье

. (7.55)