Переходные процессы в RLC-цепи

Цепь c реактивными элементами L и С запасает энергию как в магнитном, так и в электрическом поле, поэтому в ней отсутствуют скачки тока и напряжения. Найдем переходные i и , связанные с запасами энергии в RLC-цепи (рис. 7.13), при ее включении на произвольное напряжение u, считая конденсатор С предварительно разряженным.

Уравнение состояния цепи удовлетворяет второму закону Кирхгофа:

 

.

 

Выразив ток через емкостное напряжение:

 

,

получим уравнение

 

,

порядок которого определен числом элементов в цепи, способных к накоплению энергии. Поделив обе части уравнения на коэффициент LC при производной высшего порядка, найдем уравнение переходного процесса:

 

, (7.17)

общее решение которого состоит из суммы двух слагаемых:

 

.

Принужденная составляющая определяется видом приложенного напряжения. При включении цепи на ток установившегося режима и все напряжение будет приложено к емкости . При включении цепи на установившиеся ток и напряжения на элементах R, L, C будут синусоидальны. Принужденную составляющую рассчитывают символическим методом, а затем переходят от комплекса к мгновенному значению .

Свободную составляющую определяют из решения однородного уравнения

 

(7.18)

как сумму двух экспонент (два элемента накопления энергии L, C):

 

, (7.19)

где - корни характеристического уравнения

 

.

Характер свободной составляющей зависит от вида корней

 

, (7.20)

которые могут быть действительными или комплексными, и определяется соотношением параметров RLC-цепи.

Возможны три варианта переходного процесса:

- апериодический, когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму без изменения знака. Условие возникновения:

 

(7.21)

где - критическое сопротивление. При этом корни характерис-тического уравнения - действительные, отрицательные и
разные: ; постоянные времени также разные: ;

- предельный режим апериодического.Условие возникновения:

 

. (7.22)

Корни характеристического уравнения - действительные, отрицательные и равные: ; постоянные времени также равны: . Предельному режиму соответствует общее решение однородного уравнения (7.18) в виде

 

; (7.23)

- периодический, иликолебательный, когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму, периодически изменяя знак и затухая во времени по синусоиде. Условие возникновения:

 

. (7.24)

Корни характеристического уравнения - комплексно сопряженные с отрицательной действительной частью:

 

,

где α - коэффициент затухания:

 

; (7.25)

ω_св - угловая частота свободных (собственных) колебаний:

 

. (7.26)

Переходный процесс в этом случае - результат колебательного обмена энергией с частотой свободных колебаниймежду реактивными элементами L и C цепи. Каждое колебание сопровождается потерями в активном сопротивлении R, обеспечивающими затухание с постоянной времени .

Общее решение уравнения (7.18) при колебательном переходном процессе имеет вид

 

, (7.27)

где А и γ - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Запишем напряжение u_C и ток i, связанные с запасами энергии в цепи, для случая вещественных и разных корней характеристического уравнения:

 

; (7.28)

. (7.29)

 

Из начальных условий

 

(7.30)

определим постоянные интегрирования А₁ и А₂.

Рассмотрим включение RLC-цепи на напряжение . Принужденные составляющие емкостного напряжения и тока определяются из конечного установившегося режима при и равны:

 

. (7.31)

Тогда система уравнений (7.30) для определения постоянных интегрирования принимает вид

 

(7.32)

 

Решение системы (7.32) дает:

 

; (7.33)

 

. (7.34)

В результате подстановки принужденных составляющих и постоянных А₁ и А₂ в выражения для переходных напряжения u_C(t) (7.28) и тока i(t) (7.29) получим:

 

; (7.35)

 

, (7.36)

так как согласно теореме Виета .

Зная переходный ток, запишем переходные напряжения:

 

;

 

. (7.37)

В зависимости от вида корней возможны три варианта переходного процесса.

1. При переходный процесс- апериодический, тогда

 

.

На рис. 7.14, а, б приведены кривые , и их составляющие; на рис. 7.14, в кривые , , представлены на одном графике.

 

 

Как следует из кривых (рис. 7.14, в), ток в цепи растет плавно от нуля до максимума, а затем плавно убывает до нуля. Время t₁ достижения максимума тока определяют из условия . Максимуму тока соответствуют точка перегиба кривой емкостного напряжения ( ) и нуль индуктивного напряжения ( ).

Напряжение в момент коммутации возрастает скачком до U₀, затем уменьшается, проходит через нуль, меняет знак, возрастает по модулю до максимума и снова уменьшается, стремясь к нулю. Вре-
мя t₂ достижения максимума напряжения на индуктивности определяют из условия . Максимуму соответствует точка перегиба кривой тока, так как .

На участке роста тока ( ) ЭДС самоиндукции, препятствующая росту, отрицательна. Напряжение, затрачиваемое источником на преодоление ЭДС, . На участке убывания тока ( ) ЭДС , а напряжение, уравновешивающее ЭДС, .

2. При в цепи возникает предельный (пограничный) режим апериодического переходного процесса; кривые , и подобны кривым на рис. 7.14, характер процесса не меняется.

3. При в цепи возникает периодический (колебательный)переходный процесс, когда

 

где - резонансная частота, на которой в RLC-цепи будет резонанс.

Подставив сопряженные комплексы в уравнение для емкостного напряжения (7.35), получим:

 

так как

Подставив сопряженные комплексы в уравнение для тока (7.36), получим:

 

. (7.39)

Подставив комплексы в (7.37), получим для напряжения на индуктивности

 

. (7.40)

Для построения зависимостей , , необходимо знать период собственных колебаний и постоянную времени .

На рис. 7.15 приведены кривые , и для достаточно большой постоянной . Порядок построения следующий: сначала строят огибающие кривые (на рис. 7.15 – пунктирные кривые) по обе стороны от конечного установившегося режима. С учетом начальной фазы в том же масштабе, что и t, откладывают четверти периода, в которых синусоида достигает максимума или обращается в нуль. Синусоиду вписывают в огибающие таким образом, чтобы она касалась огибающих в точках максимума.

Как следует из кривых u_С(t), i(t) и u_L(t), емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода, а индуктивное опережает ток на четверть периода, находясь в противофазе с емкостным напряжением. Нуль индуктивного напряжения ( ) и точка перегиба кривой емкостного напряжения ( ) соответствуют максимуму тока./Максимуму индуктивного напряжения соответствует точка перегиба кривой тока ( ).

Ток i(t) и напряжение u_L(t) совершают затухающие колебания около нулевого значения, напряжение u_С(t) – около установившегося U₀. Емкостное напряжение в первую половину периода достигает максимальной величины, не превышая 2U₀.

В случае идеального колебательного контура :

· коэффициент затухания

 

;

· частота свободных колебаний

 

, ;

· начальная фаза

 

.

Из формул (7.38) – (7.40) получаем:

 

;

 

;

 

,

где ρ - волновое сопротивление контура: .

Ток и напряжения идеального контура изменяются по синусоидальному закону с частотой собственных колебаний без затухания, поэтому резонансную частоту w₀ называют частотой незатухающих колебаний. Напряжение на емкости изменяется в диапазоне .

В реальных цепях ( ) переходный процесс всегда затухает.

Обозначив амплитуды напряжения U_m и тока I_m, получим, что их отношение

 

не зависит от частоты и равно волновому сопротивлению цепи.

Отношение двух соседних амплитуд напряжения или тока, отстоящих друг от друга на период свободных колебаний :

 

характеризует степень затухания колебательного процесса и называется декрементом затухания. Обычно используют его натуральный логарифм

 

,

называемый логарифмическим декрементом затухания.

Идеальному колебательному контурусоответствует .