Магнитное поле постоянного тока

Расчет стационарного магнитного поля состоит в решении системы уравнений, получаемой из (10.21):

 

(10.28)

где .

В области, не занятой токами (), уравнения стационарного магнитного поля

 

(10.29)

аналогичны уравнениям электростатики (10.16) в области, не занятой объемным зарядом ( ). Магнитное поле потенциально при . Потенциальное поле характеризуют скалярным магнитным потенциалом j_м, связанным с силовой характеристикой соотношением

 

. (10.30)

Для однородной среды ( ) магнитный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

 

или

. (10.31)

В области, занятой токами (), стационарное магнитное поле имеет вихревой характер:

 

(10.32)

Однако и при вихревом поле ( )для однородной среды ( ) получают уравнения, формально аналогичные уравнениям электростатики. Для этого вводят вспомогательную величину – векторный магнитный потенциал , удовлетворяющий условиям:

 

(10.33)

Уравнение для векторного потенциала получим, умножив обе части равенства на магнитную проницаемость :

 

Так как , то

 

Двойное векторное произведение раскрывается по правилу:

 

.

Тогда

т.е.

 

но линии вектора не имеют истоков ( ), поэтому для векторного потенциала получаем уравнение Пуассона:

 

(10.34)

аналогичное уравнению для потенциала (10.15) в электрическом поле при . Векторное уравнение (10.34) разбивается на три скалярных:

Общее решение уравнения для векторного потенциала аналогично общему решению уравнения для потенциала в электрическом поле:

 

.

Векторный потенциал упрощает расчет магнитного потока через поверхность S в результате замены интегрирования по поверхности S интегрированием по ограничивающему ее контуру L:

 

.

Граничные условия на поверхности раздела сред с различной проницаемостью μ₁ и μ₂ обеспечивают равенство тангенциальных составляющих вектора напряженности и нормальных составляющих вектора индукции:

 

.

Точечной характеристикой магнитного поля служит удельная энергия, выражение для которой можно получить из энергии магнитного поля плоского витка:

 

.

 

Удельная энергия магнитного поля определяется соотношением

 

(10.35)

 

Задачи расчета полей

 

Для расчета постоянных полей с плоской, осевой или сферической симметрией применяют теорему Гаусса

 

 

и закон полного тока

 

 

 

Для расчета более сложных полей используют уравнения в дифференциальной форме. Уравнения, используемые для описания различных полей, сведены в таблицу 10.2.

Из нее следует, что при заданных свойствах e, γ, μ среды поля характеризуются величинами:

– , , j – электрическое поле в диэлектрике;

– , , j – электрическое поле в проводящей среде;

– , , j_м, – магнитное поле.

 

Таблица 10.2

Различия в описании полей

Характеристика среды
e	γ	μ
Электрическое поле,	Магнитное поле,
	(вне источников)
,	,	,

 

Задача расчета поля состоит в определении одной из этих величин как функции координат, при этом должны быть заданы:

- распределение зарядов или потенциалы заряженных тел , по которым рассчитываются характеристики поля:

;

 

- ток I или разность потенциалов U в проводящей среде, по которым рассчитываются характеристики

;

 

- распределение токов или разность магнитных скалярных потенциалов , по которым рассчитываются

.

 

Во всех случаях для получения частного решения требуется задание искомой функции или ее производной на границе поля (граничное условие).

Обратная задача состоит в нахождении закона распределения зарядов или токов по заданному распределению напряженности или потенциала.