Метод графического интегрирования

Представим уравнение в виде

 

, (8.38)

тогда время t достижения потокосцепления определяет выражение

. (8.39)

По заданной характеристике строим вспомогательную кривую (рис. 8.35):

.

Интеграл в (8.39) определяет площадь, ограниченную кривой и равную времени достижения потокосцепления Задаваясь разными значениями определяем соответствующие значения времени t и строим зависимость , из которой по характеристике находим переходный ток .

Метод графического интегрирования дает наглядное представление о влиянии параметров цепи на характер переходного процесса.

Контрольные вопросы

1. Перечислите методы расчета нелинейных цепей.

2. В чем различие между статическим и дифференциальным сопротивлением?

3. В чем суть метода линейной аппроксимации?

4. В чем суть метода эквивалентных преобразований при расчете нелинейных цепей?

5. На каких законах основан расчет магнитной цепи?

6. В чем состоит формальная аналогия между электрической и магнитной цепями?

7. Перечислите виды задач при расчете магнитных цепей.

8. В чем суть метода эквивалентных синусоид?

9. Объясните метод итерации.

10. Какие допущения использованы при расчете тока в нелинейной катушке без потерь?

11. Запишите уравнение трансформаторной ЭДС.

12. Чем обусловлены потери в стали?

13. Приведите полную схему замещения нелинейной катушки.

14. Охарактеризуйте методы расчета переходных процессов в нелинейных цепях.

9 ЦИФРОВЫЕ ЦЕПИ

 

 

Рассмотренные ранее электрические цепи предназначались для аналоговых сигналов, величина и длительность которых может быть произвольной. Аналоговый сигнал x(t) – непрерывный временной сигнал, являющийся аналогом физического процесса (рис. 9.1, а).

Цифровые цепи представляют собой разновидность электрических и электронных цепей, работа которых основана на генерации, преобразовании и обработке импульсных сигналов – напряжений или токов. Величина и длительность сигналов цифровых цепей может принимать только дискретные значения.

Теорема Котельникова обосновывает возможность передачи аналогового сигнала последовательностью чисел:

любой аналоговый сигнал x(t), гармоники которого занимают диапазон частот , можно передать последовательностью чисел, следующих с временным интервалом , при этом на периоде высшей гармоники должно быть не менее двух отсчетов для учета влияния высшей гармоники на величину отсчета.

Аналоговый сигнал x(t), ограниченный по спектру частотой f_m, полностью определяется последовательностью дискретных отсчетов, сделанных через период дискретизации . Аналоговому сигналу x(t) соответствует дискретный сигнал x(n).

Дискретныйсигнал x(n) – совокупность импульсов одинаковой ширины, площадь которых равна мгновенному значению сигнала (рис. 9.1, б). Дискретный сигнал x(n) можно представить в цифровой форме, как кодовую комбинацию из последовательности импульсов и пауз.

Цифровой сигнал u(n) – нормированный по уровню дискретный сигнал в цифровой форме (рис. 9.1, в). Цифровая система передачи включает аппаратуру формирования и приема цифровых сигналов. Переход от аналогового к цифровому сигналу осуществляют с помощью аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) или кодера. АЦП квантует аналоговый сигнал по уровню и кодирует его.

Квантование сигнала по уровню состоит в замене истинного значения каждого отсчета ближайшим разрешенным значением. Квантующее устройство характеризуется:

· числом уровней квантования N_кв;

· напряжением ограничения U_огр;

· шагом квантования δ.

Число уровней квантования – это число разрешенных уровней сигнала. Напряжение ограничения – это максимально возможное значение амплитуды отсчета, подвергаемого квантованию. Шаг квантования – это перепад между двумя соседними разрешенными уров-нями:

 

Квантование по уровню осуществляют следующим образом: если амплитуда отсчета в пределах двух соседних разрешенных уровней превышает половину шага квантования, то ее изменяют в большую сторону, если не превышает, то – в меньшую (аналогично округлению чисел). В результате квантования возникает ошибка.

Ошибка квантования – это разность между истинным и квантованным значениями:

 

.

Кодирование сигнала заключается в представлении амплитуды квантованного отсчета m-разрядным двоичным кодом:

 

,

где а_i = {0, 1}; 2ⁱ – соответственно состояние и вес i-го разряда.

Например, в пятиразрядном коде квантованный отсчет u(n) = 26 представляется комбинацией:

 

где первый разряд – старший по весу.

Процесс кодирования при использовании пятиразрядного двоичного кода поясняют временные диаграммы (рис. 9.2). Пятиразрядный код допускает различных уровня квантования отсчетов дискретного сигнала δ. АЦП формирует цифровой сигнал в виде последовательности 5-разрядных кодовых комбинаций.

Структурная схема цифровой обработки сигналов приведена на рис. 9.3.

 

 

Аналоговый сигнал x(t) поступает на вход АЦП. Аналогово-цифровой преобразователь, выполненный в виде микросхемы и являющийся типовым элементом, квантует и кодирует аналоговый сигнал. Цифровой сигнал x(n) с выхода АЦП поступает на вход цифрового фильтра (ЦФ), осуществляющего цифровую обработку. Обработанный цифровой сигнал y(n) с выхода ЦФ поступает на вход цифроаналогового преобразователя (ЦАП), выполненного в виде микросхемы. ЦАП осуществляет обратное преобразование цифрового сигнала y(n) в аналоговый y(t). Цифровую обработку осуществляют программными или аппаратурными способами.

Программную обработку выполняют по специальным программам, реализующим прямое и обратное дискретные преобразования Фурье и дискретную свертку (интеграл Дюамеля), на ЦВМ с большим объемом памяти.

Аппаратурную обработку выполняют цифровыми фильтрами, включающими (рис. 9.4):

- элементы z^-1 задержки сигнала на один такт Т (регистры сдвига для хранения предшествующих значений входных и выходных сигналов);

- перемножители сигналов;

- сумматоры сигналов.

По сравнению с аналоговыми цифровые цепи и устройства обладают следующими преимуществами:

· более высокая помехозащищенность;

· меньшая зависимость параметров от температуры и других внешних воздействий;

· меньшее потребление электроэнергии на собственные нужды при существенном повышении мощности на нагрузке;

· повышенная надежность работы и меньшая стоимость составляющих, выполненных на базе однотипных элементов с применением интегральных технологий.

Вместе с тем имеются и недостатки:

- цифровая форма представления физических процессов сопряжена с частичной потерей информации;

- цифровые цепи и устройства являются источником широкополосного электромагнитного излучения и при достаточной мощности неблагоприятно воздействуют на работу других электрических или электронных цепей и устройств.

 

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему Котельникова.

2. В чем отличие дискретного сигнала от цифрового?

3. Чем характеризуется квантующее устройство?

4. В чем состоит кодирование сигнала?

5. В чем заключается назначение АЦП?

6. Каковы способы преобразования цифрового сигнала в аналоговый?

7. Какие элементы входят в состав цифровых фильтров?

 

 

10 ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

 

 

Теория электромагнитного поля используется при расчете электротехнических устройств, пространственным распределением электрических и магнитных характеристик которых нельзя пренебречь. При этом для анализа энергетических процессов традиционных для электрических цепей понятий, таких как ток и напряжение, оказывается недостаточно.

 

 

10.1 Интегральные и дифференциальные соотношения

характеристик поля

 

Электромагнитное поле характеризуют интегральными и дифференциальными соотношениями. Интегральные соотношения относятся к участку поля конечных размеров: объему V, площади S и длине l; дифференциальные соотношения – к участку физически бесконечно малых размеров: объему dV, площади dS и длине dl. Физически бесконечно малый участок содержит достаточное количество атомов вещества и характеризуется усредненными величинами.

 

 

10.1.1 Электрическое поле

 

1.Условие потенциальности поля в интегральной форме

 

характеризует площадь S, охваченную контуром интегрирования.

Для перехода от интегральной характеристики к дифференциальной (точечной) необходимо стянуть участок интегрирования к заданной точке. При этом площадь S, охваченная контуром интегрирования, и интеграл стремятся к нулю. Предел их отношения

 

дает дифференциальную форму условия потенциальности поля:

 

. (10.1)

 

 

Ротор характеризует способность вектора создавать вихрь. Равенство вихря вектора нулю означает, что его линии не замкнуты, имеют начало и конец. Потенциальное поле является безвихревым, так же как и безвихревое поле является потенциальным. Ротор вектора представляют векторным произведением векторного оператора Гамильтона

 

и вектора.

В декартовых координатах ротор вектора имеет вид:

 

2.Разность потенциалов точек А и В поля в интегральной форме

 

характеризует путь интегрирования длиной l. Стягивая участок интегрирования к заданной точке, переходим от интегральной характеристики к точечной. В этом случае как длина l, так и сам интеграл стремятся к нулю. Предел их отношения

 

дает точечную характеристику поля:

 

. (10.2)

Градиент потенциала определяет скорость изменения поля в данной точке, взятую в направлении наибольшего возрастания потенциала.

3. Постулат Максвелла в интегральной форме

 

характеризует объем V, охваченный замкнутой поверхностью S, при этом поток вектора электрической индукции через поверхность S равен находящемуся внутри нее свободному заряду q.

Стягивая участок интегрирования к заданной точке, переходим от интегральной характеристики к точечной. Поделив обе части равенства на объем V и перейдя к пределу

 

,

получим постулат Максвелла в дифференциальной форме:

 

, (10.3)

где – объемная плотность заряда в рассматриваемой точке.

Дивергенция вектора характеризует его расхождение или схождение (рис. 10.1). Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Если в рассматриваемой точке , то она является истоком вектора , и его линии расходятся из данной точки. Если , то она является стоком вектора , и линии сходятся в данную точку. Если , то линии непрерывны.

 

 

В случае однородной среды ( ) постулат Максвелла ( ) переходит в теорему Гаусса:

 

(10.4)

4. Точечной характеристикой тока, создаваемого электрическим полем в проводящей среде, является вектор плотности тока

 

. (10.5)

Полный ток состоит из трех токов:

 

,

где – ток проводимости: ;

– ток смещения:

– ток переноса: .

Ток представляет собой поток вектора плотности тока

 

и является интегральной характеристикой площади S.

Принцип непрерывности полного тока вытекает из закона сохранения зарядов системы и в интегральной форме

 

(10.6)

обеспечивает равенство тока, вошедшего в объем, и тока, вышедшего из объема. В дифференциальной форме принцип непрерывности полного тока заключается в отсутствии расхождения его вектора:

 

(10.7)

 

 

10.1.2 Магнитное поле

 

1. Закон полного тока в интегральной форме

 

характеризует площадь S, охваченную контуром интегрирования. Предельный переход к площадке физически бесконечно малых размеров дает дифференциальную форму закона полного тока:

 

, (10.8)

согласно которой вихревое магнитное поле возникает в результате движения заряженных частиц и изменения электрического поля во времени.

Ток смещения ( ) существует в любых средах. Токи проводимости ( ) и переноса ( ) вместе не проявляются, так как ток существует в проводящей среде, а ток – в пустоте или диэлектрике, поэтому закон полного тока в дифференциальной форме, или первое уравнение Максвелла, записывают в виде:

 

, (10.9)

понимая под ток проводимости или ток переноса .

Замена полной производной на частную в (10.9) связана с использованием системы неподвижных координат x, y, z, когда полная производная по времени функции координат и времени определяется составляющими скорости движения среды в направлениях x, y, z:

 

.

Для неподвижных сред скорости равны нулю, и

 

2. Принцип непрерывности магнитного потока в интегральной форме

 

характеризует объем, ограниченный поверхностью интегрирования. В результате предельного перехода к физически бесконечно малому объему получаем принцип непрерывности магнитного потока в дифференциальной форме:

 

. (10.10)

Отсутствие расхождения силовых линий магнитного поля означает их непрерывность и отсутствие магнитных зарядов. Линии магнитной индукции порождаются электрическим током и всегда замкнуты.

3. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме

 

характеризует площадь, ограниченную контуром интегрирования. Предельный переход к физически бесконечно малой площадке дает дифференциальную форму закона электромагнитной индукции, или второе уравнение Максвелла, согласно которому вихревое электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем:

 

. (10.11)

10.2 Основные уравнения электромагнитного поля

 

Основные уравнения, характеризующие электромагнитное поле, можно представить в интегральной форме:

 

(10.12)

где первое уравнение – закон полного тока; второе – закон электромагнитной индукции; третье – постулат Максвелла (теорема Гаусса); четвертое – принцип непрерывности магнитного потока.

Основные уравнения электромагнитного поля можно представить в дифференциальной форме:

 

(10.13)

где два первых уравнения – первое и второе уравнения Максвелла; два последних – постулат Максвелла (теорема Гаусса) и принцип непрерывности магнитного потока.

Векторы электрического и магнитного поля связаны соотношениями

 

, .

Для однородной среды ( )теорема Гаусса представляется в измененных интегральной и дифференциальной формах:

 

; .

При решении задач к приведенным уравнениям (10.13) добавляют граничные и начальные условия.