Расчет показателей надежности простых невосстанавливаемых объектов

Выбор количественных характеристик надежности зависит от вида объекта, поэтому основные показатели надежности отдельных объектов можно разбить на две группы:

- показатели, характеризующие надежность невосстанавливаемых объектов;

- показатели, характеризующие надежность восстанавливаемых объектов.

Невосстанавливаемые объекты могут иметь только один отказ. Эти объекты в процессе выполнения своих функций не допускают ремонта, и если происходит отказ такого объекта, то выполняемая операция считается сорванной. При совместном рассмотрении множества однотипных объектов время работы любого объекта до наступления 1 – го отказа Т₀ (наработка до отказа) будет являться величиной случайной, наиболее полно характеризуемой законом распределения этой случайной величины.

Закон распределения случайной величины может быть представлен либо в виде плотности распределения f(t), либо в виде функции распределения F(t).

Свойствами плотности распределения случайной величины являются:

, .

Нижний предел интегрирования взят равным 0, т.к. наработка до отказа не имеет отрицательных значений.

Функция распределения наработки до первого отказа определяется по формуле:

, (2.1)

где F(t) – вероятность попадания значений случайной величины на интервал (0,t)

Если t₂ < t₁, то F(t₂) ≥ F(t₁). Кроме того, 0 ≤ F(t) ≤ 1.

Плотность распределения f(t) связана с функцией распределения следующим соотношением:

. (2.2)

Статистическая плотность распределения f^*(t) может быть найдена по формуле

, (2.3)

где n(∆t) – число объектов, отказавших в интервале (t, t + ∆t);

N₀ – число объектов, исправных в начальный момент времени;

N – общее число испытываемых объектов.

Основными показателями надежности для невосстанавливаемых объектов является следующие:

вероятность безотказной работы – P(t);

средняя наработка до отказа – t_ср;

интенсивность отказов – λ(t).

Эти показатели являются «единичными» показателями надежности, так как характеризуют только одно из свойств, входящих в понятие надежности, - безотказность.

Перечисленные показатели надежности могут быть найдены либо по известному закону распределения наработки до отказа, либо приближенно опытным путем по результатам испытаний однородных объектов на надежность.

Вероятность безотказной работы за время наработки до отказа t:

, (2.4)

Учитывая, что

F(t) = P(T < t) = 1 - P(T > t) = 1 – P(t), (2.5)

имеем:

. (2.6)

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оцениваются выражением

, (2.7)

где N₀ – общее число испытываемых объектов;

n(t) – число объектов, отказавших за время t.

При N₀ → ∞, P^*(t) = P(t), т.е. при увеличении числа испытываемых объектов статистическая оценка практически совпадает с вероятностью безотказной работы P(t).

2. Средняя наработка до отказа определяется как математическое ожидание до отказа:

, (2.8)

где f(t) – плотность распределения наработки до отказа, математические выражения, для которой приведены в п.1.4.

Установим связь между P(t) и t_ср.

С учетом выражения (2.6) формула (2.8) имеет вид

.

Взяв интеграл по частям, с учетом того, что Р(0) = 1, а Р(∞) = 0, получим:

, (2.9)

Геометрически t_ср соответствует площади, ограниченной сверху кривой P(t). Если кривая P(t) построена по опытным данным, то путем замера площади можно найти приближенно t_ср.

По статистическим данным об отказах средняя наработка до отказа вычисляется по формуле

, (2.10)

где t_i – время исправной работы i-го объекта. Здесь подра­зумевается план испытаний по времени до наступления отказа у по­следнего объекта.

3. Средняя наработка на отказ – это отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течении этой наработки

, (2.11)

где t_{ср i} – время исправной работы между отказами объекта;

n – число отказов объекта.

Частота отказов или плотность вероятности безотказной работы статистически определяется с помощью выражения

,

где - число отказов за интервал времени ;

- число объектов в начале испытаний.

Интенсивность отказов – это отношение числа отказавших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, продолжающих исправно работать в данный интервал времени

, (2.12)

где - среднее числу объектов, продолжающих исправно работать в данный интервал времени (Δt).

В соответствии с ее определением находят по формуле

или с учетом выражения (2.6)

(2.13)

Проинтегрируем выражение (4.13) в пределах от 0 до t :

или

Окончательно имеем

(2.14)

Полученная зависимость (2.13) справедлива для любого закона распределения наработки до отказа.

Определим для некоторых законов распределения показатели безотказности.

Для экспоненциального закона распределения наработки до от­каза имеем:

; (2.15)

; (2.16)

l(t)=l (2.17)

Рассмотренные показатели надежности позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых объектов, а также и восстанавливаемых при их работе до первого отказа. Наличие не­скольких показателей вовсе не означает, что всегда нужно оцени­вать надежность объектов по всем показателям.

Интенсивность отказов - наиболее удобная характеристика надежности простейших элементов, так как она позволяет достаточно просто вычислять количественные характеристики сложной системы.