Назначение и методика расчета надежности логико – вероятностным методом

Существо логико-вероятностных методов расчета надежности состоит в описании схемы системы с помощью аппарата математической логики с последующим использованием теории вероятности при определении характеристик надежности.

В основе расчетов систем на надежность лежат операции с событиями и высказываниями на базе математической логики (алгебры высказываний). Объектом исследований алгебры высказываний являются высказывания, о которых можно утверждать, что они либо истины, либо ложны. Высказывания могут быть простыми и сложными. Сложное высказывание – это высказывание, состоящее из простых, соединенных между собой логическими операциями. Каждая из логических операций устанавливает вполне определенную связь между истинностью ложного высказывания и истинностью простых высказываний.

Истинность высказываний обозначается единицей (1), ложность – нулем (0). Например: 1 – элемент работоспособен; 0 – неработоспособен. Наиболее распространенные логические операции для двух простых высказываний a и b представлены в таблице 1.

Таблица 6.1 – Основные логические операции

Наименование операции	Результат функции a/b	Обозначение операции
0/0	0/1	1/0	1/1
Конъюнкция (логическое умножение)
Дизъюнкция (логическое сложение)
Суммирование по модулю
Эквивалентность
Отрицание
Импликация от b к а
Отрицание конъюнкции
Отрицание дизъюнкции

Для приведения сложных высказываний к минимальной бесповторной форме используют правила преобразования:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Логическое уравнение, содержащее операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания можно привести к арифметическому виду, если заменить логические операции на арифметические по следующему правилу:

Для определения вероятностей сложных высказываний необходимо логическую операцию сложного высказывания привести к минимальной бесповторной форме, арифметизировать ее и затем заменить высказывания на их вероятности.

Например:

Любую сложную систему можно свести к рассмотрению простых параллельно-последовательных структур с применением логико-вероятностных методов

Рассмотрим схему представленную на рисунке 6.1

Рисунок 6.1

I. При параллельном соединении элементов:

Условие работоспособности: устройство работоспособно, если работоспособны элементы a или b или a и b. Этому условию соответствует логическая функция, в которой a, b – события, состоящие в том, что элементы a, b находятся в работоспособном состоянии

(6.1)

Для трех параллельных элементов:

(6.2)

Функцию алгебры логики (ФАЛ), связывающую состояния элементов с состоянием системы называют функцией работоспособности системы.

Для оценки работоспособных состояний системы используют два понятия:

1. Кротчайший путь успешного функционирования, который представляет собой такую конъюнкцию элементов, ни один из компонентов которой нельзя изъять, не нарушив условие функционирования системы;

2. Минимальное сочетание отказов – конъюнкция из отрицаний элементов, ни один из компонентов которой нельзя изъять, не нарушив условие неработоспособности системы.

Таким образом, условия работоспособности системы можно записать в виде дизъюнкции всех кратчайших путей успешного функционирования – дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ), либо в виде конъюнкции отрицаний всех минимальных сочетаний отказов – конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

После составления функции работоспособности необходимо перейти к вероятной форме и определить характеристики надежности.

Минимизируем выражение (6.2):

(6.3)

Арифметизируем его:

(6.4)

Заменим события их вероятностями:

(6.5)

Проверка:

(6.6)

II. При последовательном соединении элементов

Пусть система состоит из трех последовательно соединенных элементов a, b, c.

Отказ системы происходит при отказе любого из элементов.

Условие работоспособности: если работоспособны все элементы a, b, c.

Этому условию соответствует логическая функция:

Ее арифметическое представление:

Вероятность безотказной работы:

Для нашей схемы:

Последовательность логико-вероятностного метода расчета:

1. Словесная формулировка условий работоспособности системы;

2. Составление логической функции работоспособности F_Л;

3. Минимизация F_Л и приведение к бесповторной форме;

4. Арифметизирование F_Л;

5. Замена событий на их вероятности;

6. Расчет надежности – характеристик Р_С, δ_С, λ, Т_С;

7. Анализ полученных результатов.