Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца на основе классической электронной теории электропроводности металлов

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E=const. Co стороны поля заряд е испытывает действие силы F = eE и приобретает ускорение a=F/m=eE/m. Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где átñ — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

(103.1)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоро­стям, поэтому среднее время átñсвободного пробега определяется средней длиной свободного пробега álñ и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной áuñ + ávñ (áuñ— средняя скорость теплового движения электронов). Ранее нами было показано, что ávñ<<áuñ,поэтому

Подставив значение átñ в формулу (103.1), получим

Плотность тока в металлическом проводнике, по (96.1),

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получили закон Ома в дифференциальной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент пропорциональности между j и E есть не что иное, как удельная проводимость материала

(103.2)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

(103.3)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем ázñ столкновений:

(103.4)

Если n — концентрация электронов, то в единицу времени происходит п ázñ столкновений и решетке передается энергия

(103.5)

которая идет на нагревание проводника. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

(103.6)

Величина w является удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между w и E² по (103.2) есть удельная проводимость g; следовате­льно, выражение (103.6)—закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме (ср. с (99.7)).

Недостатки классической электронной теории проводимости.
Классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля-Ленца и дать качественное объяснение закону Видемана-Франца, но она встретилась с весьма существенными затруднениями. Во первых, из формулы для проводимости металлов
и энергии электронов следует, что сопротивление металлов должно быть пропорционально корню квадратному из Т, т.к. нет никаких оснований считать.что от температуры зависят концентрация n и среднее значение длины свободного пробега l. Или же надо считать, что длина свободного пробега составляет сотни межузельных расстояний, что непонятно в рамках классической теории Друде - Лоренца.
Согласно же опытным данным, электрическое сопротивление растет пропорционально первой степени Т.

Следующее затруднение классической теории в том, что электронный газ должен обладать молярной теплоемкостью (3/2)*R. Добавив к ней теплоемкость решетки 3R, получается для теплоемкости металлов значение в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков, в действительности же теплоемкость металлов не отличается заметно от теплоемкости неметаллических кристаллов.

Уточнение классической теории Лоренцом, который, в отличие от Друде, учел распределение электронов по скоростям, применив статистику Максвелла - Больцмана, в законе Видемана - Франца

дало коэффициент C1 в полтора раза меньше, чем получил Друде, который считал скорости электронов одинаковыми по модулю. Уточненное значение еще больше расходилось с опытными данными - т.е. дальнейшее уточнение теории не имело смысла.

Объяснение такого несоответствия смогла дать лишь квантовая теория металлов.