Самостоятельная работа.

1. а) Сколько вершин, граней, ребер имеет шестиугольная призма? Ответ поясните на модели призмы.

б) . Нарисуйте многогранник. Что является основанием и боковыми гранями многогранника? Назовите элементы многогранника и дайте их определения. Ответ поясните рисунком.

2. а)Дан прямоугольный параллелепипед с высотой . Найдите величину двугранного угла , если четырехугольник - квадрат со стороной .

б) Почему все высоты призмы равны между собой? Ответ обоснуйте

 

3. а) Каким свойством обладают противоположные грани параллелепипеда?

б) Докажите свойство, сформулированное в п. а).

в) Каким свойством обладают противоположные грани параллелепипеда?

г) Докажите свойство, сформулированное в п. а)

2.3 Цилиндр

Цили́ндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей).

Цилиндр прямой круговой может быть получен путем вращения прямоугольника вдоль стороны как оси.

Виды цилиндров:

                                             

           прямой                                                   наклонный

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h (H) и длиной равной длине окружности основания 2πR.

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: S_б.п.= 2πR•Н

Площадь полной поверхности находиться как сумма боковой поверхности и двух площадей основания (круга), вычисляется по формуле: S_п.п.= 2πR•Н+2πR²

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πR²H

Сечения цилиндра:

 

                                  

осевое сечение         сечение плоскостью           сечение плоскостью проходящей

                                       перпендикулярной оси        под углом к основанию

 

различные сечения

 

Задание:найти площадь боковой поверхности, полной поверхности и объем цилиндра.

Ход работы:

а) Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности цилиндра.

б) Для нахождения площади полной поверхности цилиндра нужно найти площадь основания цилиндра (площадь круга π·R²). Подставить данные в формулу площади полной поверхности или найти как сумму площадей боковой поверхности и двух оснований.

в) Для нахождения объема нужно знать высоту цилиндра и площадь основания.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности и объем цилиндра.

Оформление работы:

Дано: цилиндр, Н=12см, R=3см Найти: Sб.п. Sп.п. V Решение: Sб.п.= 2·π·R·Н = 2·π·3·12=72π(см2) Sп.п.= 2·π·R·Н+2·π·R2 = 72π + 2·π·32 = 72π+18π = 90π (см2) V = πR2•H = π•32•12 = 108π (см3)

 

Самостоятельная работа:

1. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,25 м и высоту 1,44 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?

2. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

1. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,44 м и высоту 1,25 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?

2. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

2.4.Конус:

Конусом называется тело, которое состоит из круга - основание конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга - вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

                    

ü Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса (ℓ).

ü Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

ü Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса (Н).

ü Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

ü Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

ü Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

ü Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

ü Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

                 

ü Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

ü Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

                                                 усеченный конус

Виды конусов:

наклонный                       прямой

Площадь боковой поверхности прямого конуса вычисляется по его развёртке.

Можно найти как площадь кругового сектора по формуле:

где, R – радиус круга, а α - градусная мера соответствующего центрального угла.

Боковая поверхность конуса можно вычислить по формуле: S_б.п.= πRℓ, где R — радиус основания, ℓ — длина образующей.

Полная поверхность конуса равна сумме площадей боковой поверхности и площади основания: S_п.п. = πRℓ + πR² .

Объем кругового конуса: V=1/3πR²•Н

Сечения конуса:

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением.

(сечением является равнобедренный треугольник)

Сечение плоскостью перпендикулярной оси конуса:

 (сечением является круг).

Конические сечения как результат пересечения плоскости с конусом. Возможны три основных типа конических сечений: эллипс, парабола, гипербола

Центр тяжести любого конуса лежит на четверти высоты считая от основания.

Задание: найти площадь боковой поверхности, полной поверхности и объем конуса.

Ход работы:

а) Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности цилиндра.

б) Для нахождения площади полной поверхности цилиндра нужно найти площадь основания цилиндра (площадь круга π·R²). Подставить данные в формулу площади полной поверхности или найти как сумму площадей боковой поверхности и двух оснований.

в) Для нахождения объема нужно знать высоту цилиндра и площадь основания.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности и объем конуса

Оформление работы:

Дано: конус, Н=10см, R=6см, ℓ= 11,6см Найти: Sб.п. Sп.п. V Решение: Sб.п.= πRℓ= π•6•11,6 = 69,6π (см2) Sп.п.= πRℓ + πR2 = π•6•11,6 + π•62 = 105,6π (см2) V = 1/3πR2•H =1/3•π•62•10 = 120π (см3)

Самостоятельная работа:

1. Образующая конуса, равна 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30^о. Найдите площадь осевого сечения конуса.

2. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60^о. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3. Диаметр основания конуса равен 10, образующая равна 13. Найдите высоту конуса.

 

4. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите образующую конуса.

5. Образующая конуса равна 10, высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

 

6. Образующая конуса равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите высоту конуса.

7. Высота конуса равна 10. Найдите образующую. если она наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов.

8. Радиус основания конуса равен 3, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите высоту конуса.

9. Высота конуса равна 6, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите диаметр конуса.

10. Образующая конуса равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите радиус основания конуса.

11. Диаметр основания конуса равен 6. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите образующую конуса.

2.5 Шар:

Сфе́ра — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является поверхностью шара.

                  

 

Шар - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг ( или круг ) вокруг диаметра.

        Сечения шара         

 Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.

Все плоские сечения шара – круги.

Задание: найти площадь сферы, объем шара.

Пример:

Дано: шар, ℓ= 15см. Найти: Sсферы , V Решение: длина окружности вычисляется по формуле:ℓ=2πR, отсюда найдем R= ℓ/2π = 15/2•3,14= 2,39см Sсферы = 4π·R2 = 4π•2,392 = 22,85π (см2) V = 4/3πR3 = 4/3π•2,393 = 18π (см3)

Самостоятельная работа:

1. Внешний диаметр полого шара 18см, толщина стенок 3см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.

2. Из куба выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

3. Какую часть (%) объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?

4. Диаметр свинцового шара равен 30см. Сколько шариков, диаметром 3см, можно сделать из этого свинца?

5. Площадь поверхности куба равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов куба и шара.

6. Сечение шара плоскостью перпендикулярной его радиусу, делит радиус пополам. Найдите отношение объемов частей шара.

Усечённый конус

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Обычно под усеченным конусом имеется ввиду часть прямого кругового конуса. Такой усеченный конус образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям трапеции. Усеченный конус определяется радиусами оснований R и r, высотой H (или, соответственно, образующей m).

Соотношение между высотой, радиусами оснований и образующей в усеченном конусе
H=√m2−(R−r)2

Основания усеченного конуса подобны друг другу:
Rr=k,
где k − коэффициент подобия.

Отношение площадей нижнего и верхнего оснований
S2S1=R2r2=k2,
где k − коэффициент подобия.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса
Sбок=πm(R+r)

Площадь полной поверхности усеченного конуса
S=S1+S2+Sбок=π[R2+r2+m(R+r)]

Объем усеченного конуса
V=h3(S1+√S1S2+S2)

1. Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, а об­ра­зу­ю­щая равна 2. Найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ре­ше­ние

Ответ: 3.

2. Задача Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4см и 22см, и равновеликий цилиндр имею одну и ту же высоту. Чему равен радиус основания этого цилиндра? По условию объемы цилиндра и конуса одинаковы и их высоты равны, так что V=V' и h=h'.

Ответ: 14 см.

Самостоятельная работа

1. Высота конуса равна 8, а диаметр основания – 30. Найдите образующую конуса.

2. Образующая конуса 10 см, а диаметр основания 12 см. Найдите высоту конуса.

3. Образующая конуса равна 15 см, радиус его основания 12 см. Через его вершину и хорду

4. Через две образующие конуса проведено сечение, его основание равно 16 см. Радиус основания конуса 10 см. Угол между плоскостями сечения и основания 60º. Найдите высоту конуса, расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения; площадь полной

5. Найти боковую сторону равнобедренной трапеции, если её основания 14см и 8 см, а высота 4 см

6. Прямоугольная трапеция вращается вокруг стороны АВ, угол А равен 90 градусов, угол Д равен 30 градусов, высота ДН, проведенная из вершины Д равна 7 см, ВС = 10 см. Найти площадь боковой и полной поверхности получившегося тела вращения.

Найти площадь боковой и полной поверхности усеченного конуса, если:

а) радиусы оснований 3см и 0,5 см, образующая равна 3 см

б) радиусы оснований 4 см и 2 см, высота конуса 5 см

в) радиусы оснований 8 дм и 5 дм, высота конуса 4 дм

7. Сколько краски потребуется для покраски 70 ведер с двух сторон, если ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований 10 и 12 см, образующая равна 25 см.

Тема 8
«Начало математического анализа»