Обучающая часть работа.

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем

Значит, либо то есть либо то есть Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π,

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn, либо x + arcsin a = 2(n + 1)π, Оба эти равенства могут быть объединены в одно:

Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arctg a + πn,

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arcctg a + πn,

пример

Самостоятельная работа.

№1. Решите тригонометрические уравнения: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Практическая работа №3

Обучающая часть работы.

​Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Если поставлена задача — найти такие пары значений (x;y), которые одновременно удовлетворяют уравнению p(x;y)=0 и уравнению q(x;y)=0, то говорят, что данные уравнения

образуют систему уравнений

{p(x;y)=0,q(x;y)=0.

Пару значений (x;y), которая одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что решений нет.

Может быть система и из трёх уравнений с тремя переменными:

Две системы уравнений называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Для решения систем уравнений применяют методы:1. подстановки,2. алгебраического сложения,3. введения новых переменных,4. графический.

Пример:

Реши систему уравнений :

:

:

В ходе решения подставили вместо y выражение 3x−1, полученное из первого уравнения.

Введём во втором уравнении новую переменную

t=7^x+1;

7^−x−1=7^−(x+1) =t⁻¹=1\t

Решая второе уравнение с переменной t, получим:

t=7\t+6,

t ² −6t−7=0, t≠0

t ₁=−1,

t ₂=7

Возвращаясь к введённому обозначению t, решаем полученные уравнения и находим x:

7^x+1=t

↙         ↘

7^x+1=−1 7^x+1=7=7¹

x∈∅          x+1=1

                  x=0

Найдём y, подставляя вместо x=0.

Получим, что y=−1.

Решение системы — пара чисел (0;−1).

В ходе решения были использованы два метода: подстановки и введение новой переменной.

Самостоятельная работа.

1. №1. Решите системы уравнений:1. 3.

4. 5.  6. 7.