Вычисление производной.

Цель: Сформировать умения находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций, геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

                                          (1)

Обозначения производной в точке х₀:

 и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Если кривая задана уравнением , то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ( ).

Уравнение касательной к кривой  в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

                                                                 (2)

а уравнение нормали (М₀N):

                                                               (3)

Правила дифференцирования

№ пп	U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции	№ пп	U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции
I		VI	Производная сложной функции
II		VII	Функция задана параметричес-кими уравнениями
III
IV		VIII	Если  и  — взаимно обратные функции, то
V

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп	с=const, х — независимая переменная, u = u(x) — диф­ференцируемая функция
1	С’= 0	9
2	x’= 1	10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка  или

Производная третьего порядка  или  и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а)  б)  в)  г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v=1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

Подставим  в уравнения и получим:

или  — уравнение касательной.

 или — уравнение нормали.

Пример 3. Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а)  б)  в)

Для дифференциала функции  справедлива формула  т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а)

б)

в)

Пример 5. Найти производную второго порядка функции

Решение.  поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

Пример 6. Найти производную функции  логарифмическим дифференцированием