Практическая работа №9

Вероятность события

Цель:приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Теоретические сведения:

1. Приведите примеры: 1) достоверных событий; 2) невозможных событий; 3) случайных событий.

2. Что вероятнее — появление герба при бросании монеты или появление не­четного числа очков при бросании игральной кости?

3. Что вероятнее при бросании двух монет — выпадение двух цифр или цифры и герба?

4. Что вероятнее получить при делении домино между 4 игроками — все «дубли» или же все кости с «шестерками»?

5. Проведите следующий эксперимент: бросьте 50 раз две игральные кости и запишите сумму для каждого броска. Какая сумма появилась чаще всего? Какая реже всего? Какое число очков появилось чаще: 3 или 12?

6. Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны русские буквы, вытаскивают один за другим 4 жетона. Сколько раз, по вашему мнению, нужно повторить этот эксперимент, чтобы из этих букв получилось слово «барс»? Во сколько раз будет меньше число необходимых экспериментов, если 4 жетона выта­скивают сразу (т. е. порядок их появления несуществен)?

7. Что вероятнее — угадать 6 номеров из 49 или 5 номеров из 36?

8. При 10 бросаниях правильной монеты выпадал герб. Что вероятнее при следующем броске — выпадение цифры или герба?

2. Опыт, испытание. Основным понятием, с ко­торым мы будем иметь дело в дальнейшем, является понятие опы­та, или испытания. Этому понятию нельзя дать математическое определение, однако ясно, что значат слова «подбросим монету и посмотрим, упала она вверх гербом или цифрой» или «включить электрическую лампочку и поглядеть, через какое время она пере­горит». Для нас будет существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. При этом для простоты будем рас­сматривать лишь случаи, когда множество  этих исходов конеч­но и равно n.С каждым опытом можно связать различные множества исходов. Важно лишь то, что при каждом испытании происходит один и только один исход.

Пример 1. При бросании игральной кости возможны сле­дующие исходы:

1) А1, А2, А3, А4, А5, А6 это означает выпадение  очков от 1 до 6 включительно;

2) В1 — выпадение нечетного числа очков, а В2 — выпадение четного числа очков;

Пример 2. При бросании монеты возможны исходы А1 – выпал герб, А2 – выпала «решка»

Пример 3. Произведен выстрел по мишени: А1 – попадание, А2 – промах.

Введем следующее определение:

Определение . Событием при данном испытании назы­вается любое подмножество X множества U исходов.

В дальнейшем, говоря об исходах, из которых состоит собы­тие X , мы будем говорить, что они благоприятствуют этому собы­тию. Про остальные же исходы будем говорить, что они не благо­приятствуют событию X .

Определение 2. Вероятностью события X называют сум­му вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию.

Пример 1. Бросают игральную кость, событие А – выпадение четного числа очков. Ему благоприятствуют случаи А2, А4, А6, т.о. 3 исхода из 6-ти возможных.

Пример 2. Бросают монету, событие В – выпадение герба, ему благоприятствует один исход из двух возможных.

Если испытание может привести к одному и только одному из n различных равновозможных исходов и если m из этих исходов благоприятствуют появлению события А определяется формулой

Р(А)=m/n

Это классическое определение вероятности.

Основные свойства:

1. Вероятность любого события заключена между 0 и единицей: 0≤ Р(А)≤ 1

2. Вероятность достоверного события U, т.е. такое событии обязательно произойдет при испытании: Р(U)=1

3. Вероятность испытание невозможного события V равна нулю: Р(V)=0

4. Сумма вепроятностей двух противоположных событий А и Ā, т.е. таких событий, что появление одного из них исключает появление другого, равна единице:

                     Р(А)+Р(Ā)=1

Пример 1.

Из урны, в которой находится 4 белых, 9 черных, 7 красных шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение:

Элементарным исходом является извлечение любого шара. Число таких исходов равно числу шаров: 4+9+7=20, т.е. n=20. Событие А – извлечение белого шара, ему благоприятствуют 4 исхода, т.к. белых шаров 4, значит m=4, поэтому по формуле Р(А)=m/n находим: Р(А)=4/20=1/5=20%

Пример 2. Задача о выборке.

В партии из S деталей имеются Т нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу p деталей нестандартными окажутся ровно t деталей.

Решение:

Элементарным исходом является выборка любых p изделий из общего числа S. Число таких исходом равно числу сочетаний из S по p, т.е.n=      

Интересующее нас событие А – это извлечение p деталей, из которых t нестандартные. Следовательно, благоприятными для А являются такие группы по p изделий, в которых p-t изделий – качественные, а t – нестандартные.

Число таких групп

         m= · , где , причем события из группы стандартных комбинируются из группы нестандартных, тогда

Р(А)=