Интервальная оценка значения эндогенной переменной на интервале прогнозирования. Проверка адекватности модели

Построим интервальную оценку значения эндогенной переменной на интервале прогнозирования для момента . Применяя стандартную процедуру, составляем дробь Стьюдента, имеющую распределение Стьюдента с аргументом

.(2.4)

Числитель дроби — истинная ошибка прогноза эндогенной переменной ,где — значение эндогенной переменной на интервале прогнозирования, — прогноз значения эндогенной переменной для момента .

Знаменатель дробиСтьюдента, — оценка ско ошибки прогноза (стандартная ошибка прогноза). Дисперсии ошибок являются диагональными элементами автоковариационной матрицы вектора ошибок прогнозов. Получим формулу для данной матрицы. Вектор прогнозов

,(2.5)

где

— вектор наблюдений,

— вектор значений эндогенной переменной на интервале прогнозирования.С учетом введённых обозначений автоковариационная матрица вектора ошибок прогнозов определяется по формуле

.(2.6)

Формула (2.6) получена с учетом третьей предпосылки Гаусса-Маркова — некоррелированности возмущений для различных наблюдений , которая в терминах эндогенной переменной принимает вид

.

Переходя к оценкам получим

,

Знаменатель дроби Стьюдента (2.4) является корнем из диагонального элемента p-ой строчки матрицы :

,(2.7)

— p-я строчка матрицы регрессоров. Трансформируем дробь (2.4) в интервальную оценку

. (2.8)

Интервальная оценка (2.8) применяется на четвёртом этапе построения эконометрической модели — проверке её адекватности.

Алгоритм проверки адекватности моделисостоит из следующих шагов:

1) результаты наблюдений разделяют на две части: обучающую (90-95% наблюдений) и контролирующую (оставшиеся наблюдения) выборки;

2) по обучающей выборке выполняется оценка (настройка) модели методом наименьших квадратов;

3) по оцененной модели строится прогноз значений эндогенной переменной из контролирующей выборки и доверительные интервалы для их истинных значений.

4) выполняется проверка: если значения из контролирующей выборки накрываются доверительным интервалом — модель признается адекватной, в противном случае, подлежит доработке.

Пример 2.2.Длясквозного примера 1.1 проверьте адекватность модели. Обучающая выборка включает данные с первого квартала 2007 г. по третий квартал 2016 г. включительно (39 наблюдений). В качестве контролирующей выборки используйте данные за 4 квартал 2016 года (40-е наблюдение): , .

Решение.Спецификация модели оцененав примерах 1.2.а 1.2.г.[12]:

, , , . (2.9)

Контролирующая выборка состоит из данных за 4 квартал 2016 года, поэтому 40-я строка матрицы регрессоров включает элементы

.(2.10)

Модель признается адекватной, если значение эндогенной переменной из контролирующей выборки накрывается доверительным интервалом с заданной доверительной вероятностью ( — уровень значимости). Для построения границ доверительного интервала по формулам (2.7), (2.8) вычислим:

·прогноз значения эндогенной переменной из контролирующей выборки (по настроенной модели см. (2.9))

;

·стандартную ошибку прогноза значения эндогенной переменной (по формуле (2.7))

0,5196 ,

где строка матрицы регрессоров задаётся данными (2.10), а матрица —(Пример 1.2.в, рис. 1.13):

Таким образом, доверительный интервал имеет границы:

2,3840,

4,6230,

и, накрывает истинное значение эндогенной переменной из контролирующей выборки с вероятностью 0,95. Модель признается адекватной.