Проверка качества всего уравнения регрессии

При анализе качества модели регрессии, в первую очередь, используется коэффициент детерминации, который определяется следующим образом:

(1.13)

где — среднее значение зависимой переменной;

— предсказанное (рассчитанное по уравнению регрессии) значение зависимой переменной;

– суммаквадратовостатков (Residual Sum of Squares);

— общая сумма квадратов (Total Sum of Squares);

— объясненная сумма квадратов (Explained Sum of Squares);

.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации (дисперсии) результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, то есть определяет, какая доля вариации признака y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов, включенных в модель. Из формулы (1.13) следуют два масштабирующих значения для коэффициента детерминации: = 0 при = 0, в этом случае регрессор X_u не улучшает качество оценки (прогноза) по сравнению с тривиальной оценкой (прогнозом) ; = 1 при , в этом случае все точки наблюдения лежат на регрессионной прямой (т.е. , или = 0).

Если свободный член не включён в спецификацию модели (1.9), то коэффициент детерминации не обязан принимать значения от нуля до единицы. В этом случае в пакетах прикладных программ для характеристики качества модели используется нецентрированный коэффициент детерминации [1], [2]:

. (1.14)

Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели, тем лучше качество подгонки и оценка более точно аппроксимирует наблюдения Y. В многофакторной регрессии добавление дополнительных объ­ясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Обычный коэффициент детерминации не уменьшаетсяпри увеличении числа регрессоров, даже если эти регрессоры статистически незначимы (не имеют никакой объясняющей способности), поэтому в моделях множественной регрессии используется скорректированный (adjusted) коэффициент детерминации,

. (1.15)

В формуле (1.15) учитывается «штраф» за введение дополнительных регрессоров, благодаря чему не происходит автоматического увеличения показателя. Коэффициенты детерминации (1.15) - (1.14), в общем случае, связаны неравенством

.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции(индекс корреляции)R, который показывает тесноту связи эндогенной переменной со всеми включенными в модель экзогенными переменными

Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных.

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n – k – 1), где k — количество факторов, включенных в модель.Несмещённой оценкой дисперсии возмущений множественной регрессии является оценка

(1.16)

Квадратный корень из этой величины называетсястандартной ошибкой

(1.17)

Также для оценки качества регрессионных моделей целесообразно использовать среднюю ошибкуаппроксимации

(1.18)

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.