Метод параллельной декомпозиции

Анализ объекта управления

 

Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

 

Передаточная функция данного объекта имеет вид:

 

,

 

где:

 

, ;

, , , , , .

 

или

 

.

 

Нули передаточной функции:

 

 

Полюса передаточной функции (полученные стандартными функциями среды Matlab 7.4):

 

Рис.1. График расположения нулей и полюсов передаточной функции объекта на комплексной плоскости.

 

Найдем временные характеристики объекта управления.

К временным характеристикам относятся  и .

 – переходная характеристика;

 – импульсная переходная функция;

Для нахождения  и  воспользуемся пакетом Matlab 7.4.

 

,

 

Аналитическое выражение для :

 

В этом случае  имеет вид

Рис.2. График переходной характеристики .

 

Рис.3. График переходной характеристики  на интервале  (увеличенное).

 

,

 

Аналитическое выражение для :

.

 

В этом случае  имеет вид

Рис.4. График импульсной переходной характеристики .

 

Рис.5. График импульсной переходной характеристики на интервале  (увеличенное).

Найдем частотные характеристики объекта управления.

К частотным характеристикам относятся:

амплитудно – частотная характеристика (АЧХ),

фазо – частотная характеристика (ФЧХ),

амплитудно – фазовая частотная характеристика (АФЧХ),

 

Аналитическое выражение для АЧХ:

 

.

В этом случае АЧХимеет вид

Рис.6. График АЧХ

 

Рис.7. График АЧХ на интервале  (увеличенное). Аналитическое выражение для ФЧХ:

 

В этом случае ФЧХимеет вид

Рис.8. График ФЧХ .

 

Рис.9. График ФЧХ на интервале  (увеличенное).

Рис.10. График АФЧХ.

Рис.11. График АФЧХ (увеличенное).

Аналитическое выражение для ЛАЧХ:

.

В этом случае ЛАЧХ имеет вид

 

Рис.12. График ЛАЧХ.

Аналитическое выражение для ЛФЧХ:

 

В этом случае ЛФЧХ имеет вид

Рис.13. График ЛФЧХ.

Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

 

Передаточная функция данного объекта имеет вид:

 

,

 

где:

 

, ;

, , , , , .

 

или

 

 

Описание системы в пространстве состояний имеет следующий вид:

 

 

Переходя в область изображений описание системы в пространстве состояний будет иметь следующий вид:

Матрица Фробениуса

Получим выражения, которые определяют вектор состояний и выход заданного объекта в общем виде:

.

.

 

Тогда получим:

 

 (1)

 (2)

 

Числитель передаточной функции имеет вид: .

Знаменатель передаточной функции:

 

.

 

Тогда согласно равенству (1) и (2) имеем

 

,

.

Перейдем из области изображений в область оригиналов

 

,

 

и затем перейдем к нормальной форме Коши

 

.

 

Запишем матрицы состояний

 

, ,

 

Численное значение матриц состояний:

, ,

 

Метод параллельной декомпозиции

Запишем передаточную функцию объекта в другом виде, а именно:

 

 

или

 

.

 

Согласно формуле  получим

 

Рассмотрим каждое из слагаемых в отдельности согласно принципу параллельной декомпозиции.

 

a. ,

.

 

b. ,

.

 

c. ,

,

,

d. ,

 

Получим выход системы:

 

Запишем матрицы состояний

 

, ,

 

Вычисление коэффициентов разложения дробной рациональной функции  на сумму элементарных дробей и проверка правильности получения матриц состояния сделано с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт ProstranstvoSostoyanii.m)

 

Получены следующие результаты:Матрица СЛАУ:

 

, ,

 

,

 

Численное значение матриц состояний:

 

, ,

 

.