Синтез наблюдателя полного порядка

 

Наблюдателями называются динамические устройства, которые позволяют по известному входному и выходному сигналу системы управления получить оценку вектора состояния. Причем ошибка восстановления .

Система задана в виде:

 

 

Начальные условия для заданной системы .

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

 

, .

 

Построим наблюдатель полного порядка и получим значения наблюдаемых координат  таких, что:

 

В качестве начальных условий для наблюдателя выберем нулевые н.у.:

 

 

Ранг матрицы наблюдаемости:

 

 - матрица

наблюдаемости.

 

.

.

 

Т. е. система является наблюдаемой.

Коэффициенты регулятора:

,

тогда

 

Собственные значения матрицы :

 

Коэффициенты наблюдателя выберем из условия того, чтобы наблюдатель был устойчивым, и ближайший к началу координат корень матрицы  лежал в 3 – 5 раз левее, чем наиболее быстрый корень матрицы . Выберем корни матрицы

 

 

Коэффициенты матрицы наблюдателя:

 

.

 

Используя скрипт Sintez_nablyud_polnogo_poryadka, получили следующие результаты:

 

Рис.53. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.54. Графики фазовых координат.

 

Рис.55. Графики управлений.

 

Выводы: Так как система является полностью наблюдаема и полностью управляема, то спектр матрицы  может располагаться произвольно. Перемещая собственные значения матрицы  левее, относительно собственных значений матрицы  мы улучшаем динамику системы, однако, наблюдатель становится более чувствителен к шумам.

Литература

 

1. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5 – и т. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 748 с.

2. Краснощёченко В.И.: Методическое пособие: «Методы теории оптимального управления».

 

Приложение.

PlotTimeFrHaract.m

clc

clear all

close all

b1 = 9;

b0 = 5;

 

a4 = 0.1153;

a3 = 1.78;

a2 = 3.92;

a1 = 14.42;

a0 = 8.583;

 

% syms s w

% W_s_chislit = b1 * s + b0;

% W_s_znamen = s * (a4 * s^4 + a3 * s^3 + a2 * s^2 + a1 * s + a0);

%

% W_s_obj = W_s_chislit/W_s_znamen;

 

%A_w = collect(simplify(abs(subs(W_s_obj, s, i*w))))

 

%----------------------Построение АЧХ-------------------------------------%

figure('Name', '[0,10]');

w = 0 : 0.01 : 10;

A_w = sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2));

plot(w,A_w,'k', 'LineWidth', 2);

grid on

xlabel('w')

ylabel('A(w)')

title('Function ACHX(w)')

%-------------------------------------------------------------------------%

 

r_ch = roots([b1 b0])

r_zn = roots([a4 a3 a2 a1 a0 0])

 

%----------------------Построение ФЧХ-------------------------------------%

figure('Name', '[0,100]');

w = 0 : 0.01 : 100;

fi_w = (atan(w/0.5556)-atan(w/0)-atan(w/13.5832)-atan((w-2.7677)/0.5850)...

-atan((w+2.7677)/0.5850) - atan(w/(0.6848)))*180/pi;

plot(w,fi_w, 'k', 'LineWidth', 2);

grid on

xlabel('w')

ylabel('fi(w)')

title('Function FCHX(w)')

%-------------------------------------------------------------------------%

 

 

 

%----------------------Построение АФЧХ------------------------------------%

figure('Name', '[0,100]');

w = 0 : 0.01 : 100;

A_w = sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2));

fi_w = (atan(w/0.5556)-atan(w/0)-atan(w/13.5832)-atan((w-2.7677)/0.5850)...

-atan((w+2.7677)/0.5850) - atan(w/(0.6848)));

polar(fi_w,A_w, 'k');

grid on

xlabel('Re(W(jw))')

ylabel('Im(W(jw))')

title('Function AFCHX(fi_w,A_w)')

%-------------------------------------------------------------------------%

 

%----------------------Построение ЛАЧХ------------------------------------%

figure('Name', '[0,100]');

w = -100 : 0.01 : 100;

LA_w = 20*log(sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2)));

plot(w,LA_w,'k', 'LineWidth', 2);

grid on

xlabel('w')

ylabel('L(w)')

title('Function L(w)')

%-------------------------------------------------------------------------%

 

%----------------------Построение ФАЧХ------------------------------------%

%-------------------------------------------------------------------------%

 

%----------------------Построение h(t)------------------------------------%

figure('Name', '[0,50]');

t = 0 : 0.01 : 50;

h_t = 0.0024 * exp(-13.5832.*t) - 0.2175 * exp(-0.6848.*t)...

+ 0.1452 * exp(-0.5850.*t).* cos(2.7677.*t)...

- 0.2217 * exp(-0.5850.*t).* sin(2.7677.*t)...

+ 0.5825 .* t + 0.0699;

plot(t,h_t, 'k', 'LineWidth', 2);

grid on

xlabel('t')

ylabel('h(t)')

title('Function h(t)')

%-------------------------------------------------------------------------%

 

%----------------------Построение k(t)------------------------------------%

figure('Name', '[0,50]');

t = 0 : 0.01 : 50;

k_t = - 0.0329 * exp(-13.5832.*t) + 0.1489 * exp(-0.6848.*t)...

- 0.6986 * exp(-0.5850.*t).* cos(2.7677.*t)...

- 0.2721 * exp(-0.5850.*t).* sin(2.7677.*t)...

+ 0.5826;

plot(t,k_t, 'k', 'LineWidth', 2);

grid on

xlabel('t')

ylabel('k(t)')

title('Function k(t)')

%-------------------------------------------------------------------------%

 

x1=tf([b1 b0],[a4 a3 a2 a1 a0 0]);

ltiview(x1)