Оптимальная L – проблема моментов в пространстве состояний

 

Система задана в виде:

 

 

Решение ДУ имеет вид:

 

, при  имеем:

.

 

Составим моментные уравнения:

 

 

Подставляя необходимые данные в выше приведенные формулы, получим следующие моменты и моментные функции:

Числовое значение найденных моментов:

 

Моментные функции:

 

Заметим, что моменты и моментные функции совпадают с моментами и моментными функциями, найденными в пункте (а).

Из этого следует, что функционал, значения , управление и минимальная энергия будут иметь точно такие же числовые значения и аналитические выражения, как и в пункте (3.1).

Оптимальное управление имеет вид:

 

Проверим правильность полученного решения.

 

Эталонные значения координат в начальный и конечный момент времени:

 

,

,

 

Найденные значения координат в начальный и конечный момент времени:

 

,

,

Вычислим погрешность полученных результатов:

,

,

 

Ниже представлены графики полученного решения с помощью скрипта Optimal_L_problem_moments.m.

 

Рис. 18. Графики фазовых координат системы при переходе из  в .

 

Рис. 19. Графики выходных координат системы при переходе из  в .

 

Рис.20. График оптимального управления .

Выводы: Задача перевода системы из начальной точки в конечную с помощью L-проблемы моментов в пространстве состояний и в пространстве вход-выход была решена с точностью до 12-го знака после запятой. Результаты, полученные при переводе системы из начальной точки в конечную, полностью совпадают.

Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий – минимизация энергии)

 

Система имеет вид:

 

 

с начальными условиями:

 

,

.

 

Составим матрицу управляемости и проверим управляемость системы:

 

 

.

 

Составим грамиан управляемости для данной системы:

 

Найдем грамиан по формуле:

 

 

Тогда управление имеет вид:

 

.

 

или

 

Ниже представлен график оптимального управления полученного с помощью скрипта Gramian_Uprav.m.:

 

Рис.21. График оптимального управления .

Графики фазовых координат аналогичны, как и в оптимальной L – проблеме моментов.

Сравним управление, полученное в начальной и конечной точках в пунктах 3 и 4 соответственно:

 

 и

Выводы: Как видно, значения граничных управлений совпадают. А это значит, что задача перевода объекта из начального состояния в конечное решена с высокой степенью точности и с минимальной энергией.

Графическое сравнение оптимальных управлений из пунктов 3 и 4:

Рис.21. Сравнение графиков оптимального управления .

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)