Б) Решение задачи быстродействия

Предположим, что , где – оптимальное число шагов. Так как значение  нам неизвестно (но  известно точно), выбираем некоторое начальное  и решаем задачу линейного программирования (12)-(14).

При этом

Общее число столбцов в симплекс-таблице:  

Число базисных переменных:

Сформируем строку. Имеем

 

 

Выразим из уравнения (12) начальные базисные переменные

 

и подставим в целевую функцию. Получим  – строку

 (15)

Решаем задачу (12) – (14) симплекс-методом.

В случае,

 

если ,  – малое число

Иначе

1) если  увеличить  и целое,рвернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования;

2) если  (не все управления будут равны предельным, могут быть, в том числе нулевые)), , уменьшить , вернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования.

Решения данной задачи получено с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт SimplexMetod2.m):

 

Рис. 14. График фазовой координаты .

 

Рис. 15. График фазовой координаты .

 

Рис. 16. График .

 

Рис. 17. График оптимального управления .

 

Выводы: Сравнивая полученные результаты с результатами полученными в ДЗ№2 по СУЛА, можно сделать вывод, что решения совпадают, с точностью до .

Оптимальная L – проблема моментов

Оптимальная L – проблема моментов в пространстве «вход-выход»

 

Укороченная система данного объекта имеет вид:

 

,

 

где:

 

;

;

;

;

;

.

 

Полюса укороченной передаточной функции:

 

;

;

;

;

.

 

Заданы начальные и конечные условия:

, , .

Для определения начальных и конечных условий для  воспользуемся следующей формулой:

 

,

 

Где матрица  имеет следующий вид

 

,

 

где , .

ИПФ укороченной системы:

 

 

Составим фундаментальную систему решений:

 

ФСР: .

 

Составим матрицу .

, где  – матрица Вронского

 

 

,

Тогда

 

.

 

Составим моментные уравнения (связь между входом и выходом):

 

Моментные функции определяются по следующей формуле

 

 

Составим моментные функции:

 

Найдем моменты по следующей формуле:

 

.

 

Числовое значение найденных моментов:

 

 

Составим функционал качества, который имеет следующий вид:

 

 

при условии, что : , т.е.

 

Выразим из данного условия , тогда получим следующее равенство:

 

.

Подставляя полученное равенство в функционал и заменяя  их правыми частями получаем

 

Найдем частные производные  и приравняем их к нулю. Решая полученную систему уравнений, определяем оптимальные значения коэффициентов , а  вычислим по формуле

 

.

 

Т.о. имеем:

 

 

Минимальная энергия:

 

 

Найдем управление по следующей формуле:

 

 

Тогда оптимальное управление

.