Модели систем массового обслуживания

Знания об очередях, иногда называемые теорией оче­редей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Модели очередей (как и линейное программирование, модели управления запасами, методы сетевого анализа проектов) исполь­зуются и в сфере управления материальным производством, и в сфере обслуживания. Анализ очередей в терминах длины очере­ди, среднего времени ожидания, среднего времени обслуживания и других факторов помогает лучше понять принципы орга­низации системы обслуживания. Профессиональный менеджер, принимая решение о совершен­ствовании системы массового обслуживания, оценивает измене­ния, возникающие в затратах на функционирование системы и в издержках, связанных с ожиданием клиентов. Можно нанять большое количество сотрудников, которые будут быстро обслуживать клиентов. Так, администратор супермаркета может умень­шить очереди в кассы, увеличивая в часы пик количество продав­цов и кассиров. Для работы в кассах банков или аэропортов в часы пик могут быть привлечены дополнительные сотрудники. Одна­ко снижение времени ожидания обычно сопряжено с издержка­ми на создание и оснащение рабочих мест, с оплатой труда до­полнительного персонала. Эти издержки могут быть весьма зна­чительны.

Можно сэкономить на трудозатратах. Но тогда клиент может не дождаться обслуживания или потерять желание вернуться еще раз. В последнем случае система массового обслуживания будет нести потери, которые можно назвать издержками ожидания. В некоторых системах обслуживания, например на главном конвейере, затраты, связанные с длительным ожиданием, могут оказать­ся чрезвычайно высокими. Основной экономический принцип совершенствования систем массового обслуживания состоит в оценке общих ожидаемых затрат, включающих затраты на обслу­живание и потери, которые несет система в результате ожидания клиента. В системах массового обслуживания различают три основных эта­па, которые проходит каждая заявка: появление заявки на входе в систему; прохождение очереди; процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему. На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели. Характеристики входа: число заявок на входе (размер популяции); режим поступления заявок в систему обслуживания; поведение клиентов.

Число заявок на входе. Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неогра­ниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента на­чала процесса обслуживания до любого заданного момента вре­мени, является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как неогра­ниченная. Если количество заявок, которые могут поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящихся в системе массо­вого обслуживания, популяция считается ограниченной. Пример ограниченной популяции: компьютеры, принадлежащие конкрет­ной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.

Режим поступления заявок в систему обслуживания. Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с опреде­ленным графиком (например, один пациент на прием к стомато­логу каждые 15 мин, один автомобиль на конвейере каждые 20 мин) или случайным образом. Появления клиентов считаются случай­ными, если они независимы друг от друга и точно непредсказу­емы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения вероятностей. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона описывается следующей фор­мулой:

где р (х) — вероятность поступления х заявок в единицу вре­мени;

х — число заявок в единицу времени;

l — среднее число заявок в единицу времени (темп по­ступления заявок);

е = 2,7182 — основание натурального логарифма.

Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основы­вается на предположении, что поведение клиентов является стан­дартным, т.е. каждая поступающая в систему заявка встает в оче­редь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока ее не обслужат. Другими словами, клиент (человек или ма­шина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую. На практике клиенты могут по­кинуть очередь потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются сво­ей очереди, но по каким-то причинам уходят не обслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслу­живания, однако здесь не рассматриваются.

Характеристики очереди: Длина очереди может быть ограничена либо не ограни­чена. Длина очереди (очередь) ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и происходит отказ. Длина очереди не ограничена, если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на автозаправке. Правило обслуживания. Большинство реальных систем исполь­зует правило «первым пришел — первым ушел» ( FIFO — first in, first out). В некоторых случаях в дополнение к этому правилу могут устанавливаться раз­личные приоритеты. Порядок запуска компьютерных программ — пример установления приорите­тов в обслуживании. Характеристики процесса обслуживания: 1) конфигурация системы обслуживания (число каналов и чис­ло фаз обслуживания); 2) режим обслуживания.

Конфигурация системы обслуживания. Системы обслуживания различаются по числу каналов обслуживания. Другая характеристика — число фаз (или последовательных этапов) обслуживания одного клиента. Режим обслуживания. Как и режим поступления заявок, режим обслуживания может характеризоваться либо постоянным, либо случайным временем обслуживания. Однако более часто встречаются ситуации, когда время обслуживания имеет случайное распределение. Во многих случаях можно предположить, что время обслуживания подчиня­ется экспоненциальному распределению с функцией распреде­ления

F(t) = p( t< t) =1 – е^–tm, где р ( t < t) — вероятность того, что фактическое время t обслу­живания заявки не превысит заданной величи­ны t;

m — среднее число заявок, обслуживаемых в едини­цу времени;

е = 2,7182 — основание натурального логарифма.

Сравнительная характеристика моделей систем массового обслуживания: