Медианная фильтрация изображений

Модель наблюдения y(m,n) = x(m,n) + v(m,n), где y(m,n) - искаженное полученное изображение, x(m,n) – идеальное исходное изображение, v(m,n) – аддитивный шум.

Пусть есть скользящее окно, содержащее N – штук отсчетов (нечетное). Упорядочим отсчеты окна и перенумеруем. После чего получим вариационный ряд: y₀≤y₁≤y₂≤…≤y_N-1. Середина вариационного ряда: y_(N-1)/2 – медиана. Медианный фильтр:

Достоинство: фильтр сохраняет контуры, т.к. на выходе получаем не сглаженное значение, а 1 из отсчетов входного изображения.

Примеры с разными скользящими окнами:

Взвешенный медианный фильтр – медианный фильтр с заданной матрицей весов. Каждый отсчет включается в вариационный ряд столько раз, какой у него вес.

Сумма весов матрицы должна быть нечетной.

Пример:

Вариационный ряд без использования матрицы: 5,5,7,7,7 – медиана 7.

С использованием матрицы весов: 5,5,5,5,7,7,7 – медиана 5.

Ранговая фильтрация изображений

х – входное изображение, у – результат рангового фильтрации. Используем скользящее окно D и строим вариационный ряд x₀≤x₁≤x₂≤…≤x_r≤…≤x_N-1, r – ранг отсчета.

Определение: ранговый фильтр –

x_r ≡ r – порядковая статистика

Пример 1: y_(N-1)/2 – медианный фильтр.

Пример 2: х- бинарное, тогда у = х₀ – эрозия, у = х_N-1 – делотация.

Пример 3: Экстремальный фильтр. Пусть х* - текущий отсчет, тогда

То есть, если яркость текущего окна ближе к min то она становится min и наоборот.

Пример 4. Скользящая эквализация (в окне).

Где, F(x) – интегральная функция распределения, х – центр окна. Количество отсчетов меньше х* - это NF(x*) = r(x*) + 1, где r – ранг отсчета. Отсюда получим:

Ранговые окрестности (внутри вариационного ряда)

Пусть с – центр окружности (его яркость), к(c) - ранг центра окружности, х* - ентр окна и может быть центром окружности (так же как и х_сред, х_мед). ε – размер окружности.

1) Окружность по значениям:

2) Окружность по рангам:

3) Окружность по ближайшим соседям.

Пример 5. Ε-фильтр. Усредняем окресности по значениям:

Рассмотрим одну из общих схем ранговых фильтров.

1 шаг: построение вариационного ряда;

2 шаг: выделение некоторой окрестности;

3 шаг: вычисление некоторой характеристики по окрестности.

Пример:

 А) усреднение;

Б) взятие отсчета с заданным номером из усеченного вариационного ряда

В) вычисление медианы или минимума.

Параметры: номер типа окрестности, размер окрестности, номер функции вычисления по усеченному вариационному ряду, номер типа центра окружности и параметры выбранной функции.

Изменяя параметры, получаем множество алгоритмов.

Достоинства ранговых фильтров: сохраняют контуры, широкий спектр задач.

Недостатки: трудный теоретический анализ, так как алгоритм нелинейный.