Модели ограниченного роста

Модели ограниченного роста были представлены в докладе «Теория ограниченного роста». Модели называются "Мир 1", "Мир 2", "Мир 3". Это пример динамических имитационных моделей. Основу моделей представляет разработанный Форестером метод, который он назвал методом системной динамики. Для описания этих моделей был создан специальный язык «Динамо».

Все переменные модели делятся на 2 категории: уровни и темпы, которым в экономике соответствует, согласно СНС, запасы и потоки, а в статистике – моментные и интервальные показатели.

Основой модели является дифференциальное уравнение первого порядка:

,                                                                     (34)

где F – уровень какого-либо показателя;

         – поток;

           С – начальное состояние.

Если записать уравнение в конечных разностях, то получим:

,                                                                      (35)

где L – уровень;

 – производная по t;

 – шаг времени или временной шаг.

В моделях выделяются пять уровней:

1.Численность населения – P;

2.Общий объем инвестиций в у.е. (общий объем капитальных вложений) – К;

3.Глобальный запас природных ресурсов в у.е. – R;

4.Удельный вес с/х в общем объеме инвестиций (доля капитальных вложений в с/х) – S;

5.Степень загрязненности окружающей среды в у.е. – Z.

Для каждой из названных эндогенных переменных в модели отведен свой блок. Входы и выходы блоков связаны между собой. В модели используются обратные связи.

Качественно работу модели можно описать следующим образом: истощение природных ресурсов вызывает повышение цен на сырье, что ведет к снижению инвестиций и падению производства, вместе с тем загрязнение окружающей среды способствует снижение уровня жизни и снижению численности населения.

Согласно Медоузу, главные факторы, ограничивающие экономический рост, – это ограниченный объем производимого продовольствия и невоспроизводимых природных ресурсов, а также загрязнение окружающей среды в результате производственно-технической деятельности.

Математически модель Форестера-Медоуза представляет собой системы дифференциальных уравнений первого порядка в конечных разностях, описывающих изменения во времени пять основных переменных: P, R, K, S, Z. Форестер назвал эти уровни резервуарами.   

Системы уравнений:

1. Численность населения:

                                             (36)

где  – население на конец года;

 – число родившихся за период;

 – число умерших за период.

Дифференциальное уравнение:

,                                                            (37)

где        

 

 – коэффициент рождаемости;

   – коэффициент смертности.

Эти коэффициенты определяются как нормативные коэффициенты, умноженные на корректирующий множитель, который отражает воздействие на рождаемость и смертность, уровень жизни, плотность населения, питание, загрязнение окружающей среды. Эти зависимости (корректирующие множители) получаются исходя из уравнений регрессии, построенным по ретроспективным статистическим данным.

2. Инвестиции или капитальные вложения.

                                                         (38)

где  – основные фонды в t-том году;

 – инвестиции в t-том году;

 – износ основных фондов в t-том году.

Дифференциальное уравнение:

                                                               (39)

                                                         (40)

,                                                               (41)

где  – предельная склонность к накоплению, зависящая от уровня жизни;

– нормативный коэффициент загрязнения.

3. Относительное загрязнение Z.

                                                                     (42)

где G – темп образования загрязнения;

U – темп разложения загрязнений.

Дифференциальное уравнение:

                                                     (43)

,               

где  – множитель, характеризующий зависимость загрязнения от объема основных фондов К.

где  – время разложения загрязнения.

 

4. Доля инвестиций в с/х S:

                                            (44)

 где  – для средств в с/х, определяемая уровнем питания;

 – время задержки (лаг), который составляет примерно лет 15;

 – доля инвестиций в зависимости от качества жизни;

 характеризуется четырьмя факторами:

· материальный уровень жизни;

· количество продовольствия на долю населения;

· плотность населения;

· уровень загрязнения окружающей среды.

         Эти факторы в виде коэффициентов задаются таблично.

5. Невоспроизводимые ресурсы R.

                                                                       (45)

где  – годовой объем расходов невоспроизводимых ресурсов;

  

,                                                        (46)

где  – нормативное потребление ресурсов на человека в год;

– множитель зависимости добычи ресурсов от материального уровня жизни, который задается таблично. Зависимость прямая.

Усовершенствования:

· Сектор населения делится на четыре возрастные группы:

Ø до 15 лет;

Ø от 15 до 44 лет;

Ø от 45 до 64 лет;

Ø старше 65 лет.

Для учета рождаемости используется математическая модель, в  которой общий коэффициент плодовитости зависит от максимальных возможностей плодовитости, биологической плодовитости с учетом ожидаемой продолжительности предстоящей жизни, объема производства на душу населения и ожидаемого дохода семьи. Весь блок населения включает 15 секторов, связанных между собой.

· Капитал. Производится декомпозиция ВВП на 4 компоненты: услуги, промышленный выпуск, продовольствие, ресурсы. На четыре компоненты делятся и инвестиции. Промышленный выпуск определяется на основе производственной функции с учетом затрат на добычу ресурсов и наличия рабочей силы.

· Сектор невоспроизводимых ресурсов. Ежегодное потребление этих ресурсов моделируется как функция численности населения и уровня индустриализации.

· Сектор загрязнения. Общий прирост загрязнения определяется как сумма двух видов: промышленного загрязнения и с/х, которые умножаются на коэффициент , меняющийся от 0 до 1, который характеризует действия очистных сооружений.

· В секторе с/х учитываются процессы деградации и дегенерации почвы, влияние интенсификации с/х производства на среднюю урожайность. Начальные условия – показатели за 1900 год. Эта модель создаваласьв 70-е гг. По модели был сделан прогноз: если тенденции с 60-70 годов, то возникнет кризис.

В результате моделирования были сделаны следующие рекомендации:

· Стабилизировать численность населения (к рекомендациям прислушался только Китай, где осуществляется программа ограничения численности населения;

· Промышленный капитал должен стабилизироваться с 90-х гг. (резко снизилось энерго- и ресурсопотребление);

· Потребление ресурсов на душу населения должно снизиться до уровня, который был в 70-е гг. (постоянно ищутся ресурсосберегающие технологии);

· Загрязнение должно снизиться по сравнению с загрязнением в 70-е гг. в 4 раза;

· Средний срок службы капитала должен увеличиться в 1,5 раза.