Особенности построения корреляционно-регрессионных моделей

Классический регрессионный корреляционный анализ базируется на следующих предположениях:

1. Объём выборки  значительно превосходит число факторных признаков . Обычно . При уменьшении m уменьшается число степеней свободы остаточной дисперсии, следовательно,  увеличивается и возрастает доверительный интервал.

2. Все i точки выборки для j факторного признака должны быть взаимно не коррелированны. Если точки взаимно коррелированны, то это называется автокорреляцией, а ряд называется автокоррелированным. Для оценки степени автокорреляции используется коэффициент автокорреляции (сдвиг на один уровень), который меняется от -1 до 1. Автокоррелированный ряд эквивалентен неавтокоррелированному с меньшим объёмом выборки .                                                                               (24)

Уменьшение объёма  выборки ведет к уменьшению числу степеней свободы , а, следовательно, ведет к увеличению доверительного интервала и ухудшению точности модели.

3. Все признаки (результативные и факторные) должны быть количественными. Сравнение по качеству нескольких объектов между собой производится с помощью ранжирования, т.е. объектам присваивается ранг. Первый ранг присваивается лучшему объекту, а последний худшему объекту. Для определения степени связи между ранжированными величинами используются коэффициенты ранговой корреляции. Например, коэффициент Спирмена:  

                                                    (25)

Коэффициент Спирмена меняется от -1 до 1. Для ранжированных величин аналогом коэффициента множественной корреляции является коэффициент конкордации                                                          (26)

Данный коэффициент применяется, например, для оценки согласованности мнения экспертов при обработке данных экспертного опроса, где - число экспертов,  - число оцениваемых объектов. Если мнение экспертов совпадает, то коэффициент равен 1, если  прямо противоправны, то 0.

Имитационные статистические модели

Если аналитические зависимости (модели) можно решить в общем виде, то для статистических моделей это сделать нельзя, так какнеизвестные параметры являются случайными величинами.

Пусть нам известен алгоритм или оператор F преобразования входных переменных X в выходные Y. Тогда имитационная модель определяется оператором F( X , Y , Z ), где X – входные параметры; Y– выходные параметры; Z – случайные величины постороннего воздействия.      

Рисунок 4 - Схема имитационной модели

Будем считать,  что нам известно  распределение случайных величин x  и z. При помощи датчика случайных чисел в каждом опыте  мы получаем конкретное значение вектора X и Z. Зная эти значения, при помощи оператора или алгоритма F их можно преобразовать в конкретное значение Y.  При проведении множества опытов на выходе получается статистическая совокупность из m элементов, где m – это количество опытов. 

Таким образом, результат моделирования представляет собой описание статистической совокупности в виде ряда распределения и его характеристик, таких как дисперсия, мода, квантили, эксцесс, коэффициент асимметрии, средние значения.

При использовании датчика случайных чисел необходимо учесть,  что в большинстве языков программирования применяется закон равномерной плотности. Поэтому для получения  любого другого закона необходимо воспользоваться  следующим методом (рисунок 5).

На ординате графика функции распределения F ( x ) откладываем значение случайной величины а, полученной при использовании закона равномерной плотности. Тогда соответствующая ей абсцисса х_а и будет представлять искомую случайную величину (рисунок 5).

Если для закона распределения аналитически можно найти обратную функцию, то случайная величина х_а получается из обратной функции.

Имитационная статистическая модель может использоваться для оценки эффективности и риска инвестиционного проекта. В данной модели имитационного моделирования инвестиционный процесс может быть представлен как некоторая последовательность этапов, имеющая не единственное конечное событие. В качестве основы модели используется дерево решений. В качестве входного параметра х используются различные показатели, которые имеют случайный характер.В качестве выходного параметра у используется NPV , где NPV – чистый дисконтированный доход:

,                                                                     (27)

где CF_t – денежный поток в период времени t;

t-количество периодов дисконтирования;

       r – ставка дисконтирования.

Рисунок 5 –Графическая иллюстрация  получения случайной величины,  распределенная по любому закону.

По распределению NPV можно определить риск, то есть, вероятность отрицательной величины NPV и показатели: среднее значение, дисперсию, моду, квантили, эксцесс, коэффициент асимметрии.