Выведите “Правило 100”.

Докажите, что при одной и той же ставке процента наращение по схеме простых процентов является более выгодным для периода наращения менее года, а для периода наращения более года более выгодным является наращение по схеме сложных процентов.

1)Прост.проц: S_t=S₀(1+it)

Слож.проц: S_t=S₀(1+i)^t

S_t                                                     

S₀(1+i)

S₀

                                

            1                  t

Следовательно, в пределах года простое исчисление выгоднее.

2)Пусть срок вклада- n лет. Тогда при начислении сложн.проц: S_t=S₀(1+i)^t, а при исчислении прост.проц.: S_t=S₀(1+it). Раскроем (1+i)^t по формуле бинома Ньютона: (1+i)^t= 1+it+ *i²+…+i^t >1+it при t >1.

Если больше года, то сложное исчисление выгоднее.

Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае простых процентов.

Если частота начисления процентов N неограниченно возрастает:

S_t= ₀(1+ Nt) = S₀ (1+it)

Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

S_t= ₀(1+ )^Nt =S₀ )^N/t ]^it =S₀e^it

i заменяется на б-сила роста.

S_t=S₀e^tб

Выведите эффективную процентную ставку в случае простых процентов

 

уменьшается с увеличением k

Выведите эффективную процентную ставку в случае сложных процентов (3 случая)

за n -й период начисления:

не зависит от k и равна номинальной

кратное начисление процентов:

для непрерывных процентов:

Эквивалентность различных процентных ставок

Ставки называются эквивалентными, если они имеют одинаковые коэффициенты роста

Эквивалентность простых и сложных процентов

i_s – простая процентная ставка, i_d – сложная процентная ставка,

i_c – непрерывная процентная ставка

Эквивалентность простых и непрерывных процентов

Эквивалентность сложных и непрерывных процентов

Выведите “Правило 70” в случае сложных процентов.

2So=So(1+i)^t

Ln2=t ln (1+i)

Ln(1+i)=i

Ln2=ti

T=ln2/i

Выведите “Правило 70” при кратном начислении процентов в случае сложных процентов.

2So=So(1+i/m)^tm

2= (1+i/m)^mt

Ln 2=mtln(1+i/m)

Ln(1+i/m) = i/m

Ln2=mt(i/m)

Ln2=ti

T=ln2/i

Выведите “Правило 70” при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.

2So=So(e^ti)

2=e^ti

Ti=ln2

T=ln2/i

Выведите “Правило 100”.

Это правило позволяет ответить на вопрос : за сколько лет удвоится вклад, помещенный в банк под i процентов годовых?

 «правило 100» используется в случае простых процентов

2So = S0(1+Ti)

Ln2 = Ln (1+Ti)

2 = 1+Ti, откуда T=1/i, или (если I выражена в процентах): T=100/ I (за T=100/ i примерно происходит удвоение капитала в схеме простых процентов при ставке i, ставка задается в процентах)

Пример : за сколько лет удвоится капитал в схеме простых процентов

При ставе 18 % годовых?

T= 100/ i = 100/18 = 5,56 лет

14. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке i в случае сложных процентов.

Это правило можно получить из формулы сложных процентов .

nSo = So (1+ i)^ T

Ln n = Ln (1+i)

Разлагая Ln (1+i) по степеням I, получим Ln(1+i) ≈i. Следовательно, Ln n ≈ iT, откуда

T=Lnn/i.

Учёт следующего (квадратичного) по i члена в разложении Ln(1+i) ≈ I-i²/2 дает результат

T≈ ln n / i (1- i/2) увеличивающий срок роста капитала в n раз T≈ ln n / i (1+ i/2) на

ΔT≈ ln n / 2

Таким образом, при рассмотрении задачи об увеличении капитала в произвольное число раз (n) в схеме мложных процентов при данной процентной ставке I необходимо в «Правиле 70» лишь сделать замену

Ln 2 —> Ln n

15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке i в случае простых процентов.

В случае простых процентов имеем

nS0 = S0(1+Ti)

отсюда n = 1+Ti, откуда T= (n-1)/i

Например, при ставке 10 5 годовых вклада вырастет в 4 раза за T = (n-1)/i= 3/0,1=30 лет

16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке i в случае кратного начисления сложных процентов.

Увеличение капитала в n раз

Если используется приближение , то

При N=1