Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке i в случае непрерывных процентов.

1) 2)  3)

4)                        5)  

 6) А т.к.  и  то

Выведите формулу Фишера.

α – уровень инфляции (стоимость товаров увеличивается в (1+α) раз)

Деньги обесцениваются в (1+α) раз

S₀, S₁=S

Реальная сумма:

 

 

i_α – процентная ставка с учетом инфляции

Формула Фишера:

 

α – мало => i₂ = i - α

19.Темпы инфляции за последовательные периоды времени равны соответственно . Найдите темп инфляции за период

Если

n=2

 - синергетический эффект

Дайте определение и выведите формулу для среднего срока финансового потока

Определение: средним сроком денежного потока относительно ставки дисконтирования i называется момент времени t, такой что S(t) = C₁+C₂+…+C_n.

CF = {(t₁, C₁),…,(t_n,C_n)}

 =  +  +…+  =  = C₁(1+i)^-t₁ + C₂(1+i)^-t₂ +…+ C_n(1+i)^-t_n = (C₁+C₂+…+C_n)*(1+i)^-t = C₁(1-t₁i) + C₂(1-t₂i) +…+C_n(1-t_ni) = (C₁+C₂+…+C_n)(1-ti) = i(C₁t₁ + C₂t₂+…+C_nt_n) ≈ i(C₁+C₂+…+C_n)t

t ≈

Дайте определение внутренней нормы доходности. Исследуйте зависимость чистого приведенного дохода ( NPV ) от ставки приведения (принятой нормы доходности) i . Приведите качественный график данной зависимости.

Внутренняя норма доходности ( IRR ) — это процентная ставка, при которой чистый дисконтированный доход (NPV) равен 0. NPV рассчитывается на основании потока платежей, дисконтированного к сегодняшнему дню.

Иначе говоря, для потока платежей CF, где CF_t — платёж через t лет (t = 1,...,N)

С_к – баланс инвестиционных затрат и чистого дохода за к-ый период.

NPV(i)=  + +…+

NPV(i)>0 → доходы окупают расходы

NPV<0 → доходы не окупают расходы

Рассмотрим CF ={ (0;-к), (1;С1), (2;С2),…, (n;Cn)}, k>0, Ck>0, ᴲk: Ск>0

NPV(i) = -k + + +…+

Выведите формулы для коэффициентов приведения и наращения

Ренты постнумерандо.

Найдем текущую стоимость А потока платежей {(0,0),(1,R),(2,R),…,(n,R)} относительно процентной ставки i. В соответствии с определение:

А= R/(1+i)+R/(1+i)2 +…+R/(1+i)3

Сумма справа представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем (1+i) -1 и первым членом R/(1+i)

Суммируя, получаем

A = R* ((1- (1+i) -n )/ i ))

Множитель при R в правой части называю коэффициентом приведения годовой ренты.

Коэффициент наращения годовой ренты соответственно будет равен

S = R* ((1+i) -n -1 )/ i ))

Исходя из того что

S = R(1+i)n-1 +R(1+i)n-2+…+R

Коэффициенты приведения и наращения ренты постнумерандо получаются путем умножения на коэффициент 1+i

23. Пусть известны n, i, R. Найдите наращенную сумму S и приведенную величину A годовой ренты. Приведите пример.

В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого

года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются

проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на

расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года, R = 10 000 000 руб.,

i = 0,10 .

Найти S = ? А = ?

Вычисления по формулам :

S = 10 000 000*[(1+ 0,1)3- 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб

А = 10 000 000*[1 - (1+0,1) (-3) ]/0,1 =24 868 519,91 руб.

24. Пусть известны A, i, R. Найдите срок ренты n. Приведите пример.

Организация взяла кредит в размере 30 000 000

руб. с условием погашения ежегодными платежами по 6 000 000 руб.

в конце года (постнумерандо) и начислением по сложной процентной

ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты.

Известно:

A = 30 000 000 руб.,

R = 6 000 000 руб.,

i = 0,15 .

Найти n = ?      

Решение

По формуле находим:               

n = - ln (1-30 000 000*0,15/6 000 000) / ln(1+0,15) = 9,92 года.