Выведите формулу доходности портфеля из n бумаг через доходности отдельных бумаг.

Если же учесть, что портфель состоит из Nчисла разных по стоимости ценных бумаг, то уравнение доходности можно записать в виде.

где р —среднеожидаемая доходность портфеля; х i —количество ценных бумаг iвида; r i —ожидаемая доходность ценной бумаги iвида; N —количество ценных бумаг в портфеле ( i= 1, 2, 3,...N ).

Как определяется доходность и риск портфеля из n бумаг?

Доходность портфеля Х из n ценных бумаг:  =  + , где  - доходности ценных бумаг, входящих в портфель Х.

Х =

 =  = (

µ - фиксирован.,  * X

Для вычисления квадрата риска воспользуемся формулой:  * V * X, где V – ковариационная матрица.

47. Опишите портфель из 2х бумаг в случае полной корреляции.( ϸ ₁₂ =1)

R2=aR1+b

 Ϭ_x²=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²+2x₁x₂=(x₁Ϭ₁+x₂Ϭ₂)²

 Ϭ_x=x₁b₁+x₂b₂, x₁=t, x₂=1-t

ϻ_x=tϻ₁+(1-t)ϻ₂

Ϭ_x=tϬ₁+(1-t)Ϭ₂

Ϭ

Ϭ₂   B

ϸ=1

Ϭ₁ A ϸ=-1

    ϻ₁ ϻ₂ ϻ

Множество допустимых портфелей X определяется отрезком, соединяющим точки (ϻ₁, Ϭ₁) и (ϻ₂,Ϭ₂) (отрезок AB).

Портфель с max доходностью: X(0;1)состоит из ц.б. B.

48. Опишите портфель из 2х бумаг в случае полной автокорреляции. ( ϸ ₁₂ =-1)

Ϭ²=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²+2ϸx₁x₁Ϭ₁Ϭ₂=(x₁Ϭ₁-x₂Ϭ₂)²

Ϭ=|x₁Ϭ₁-x₂Ϭ₂|

X₁Ϭ₁=x₂Ϭ₂=0

X₁Ϭ₁-(1-x₁)Ϭ₂=0

X₁(Ϭ₁+Ϭ₂)=Ϭ₂

X₁=Ϭ₂/(Ϭ₁+Ϭ₂); x₂=Ϭ₁/(Ϭ₁+Ϭ₂)

X=( Ϭ₂/(Ϭ₁+Ϭ₂); Ϭ₁/(Ϭ₁+Ϭ₂))

ϻ_x0=ϻ₀= Ϭ₂/(Ϭ₁+Ϭ₂)ϻ₁+ Ϭ₁/(Ϭ₁+Ϭ₂)ϻ₂=(Ϭ₂ϻ₁+Ϭ₁ϻ₂)/(Ϭ₁+Ϭ₂)

ϻ_x=x₁ϻ₁+x₂ϻ₂

Ϭ_x=|Ϭ₁x₁-Ϭ₂x₂|

X₁+x₂=1

Найдите портфель минимального риска из 2х независимых бумаг и его доходность.

ϸ₁₂=0

Ϭ²=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²    min

X₁+x₂=1

F(x)      min

y(x)=0

L(x,λ)=f(x)+λg(x)

L=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²+λ(x₁+x₂)

=2x₁Ϭ₁²+λ=0 (1)

=2x₂Ϭ₂²+λ=0 (2)

x₁+x₂-1=0 (3)

(1=2) x₁Ϭ₁²= x₂Ϭ₂²

x₁Ϭ₁²=(1-x₁)Ϭ₂²

x₁=  ; x₂=

X=(

ϻx₁=x₁ϻ₁+x₂ϻ₂=

риск=Ϭ_x= = = =

портфель min риска (ϻ_x,b_x)=(

Опишите свойства портфеля из двух независимых бумаг, одна из

Которых безрисковая.

Пусть одна из 2х цен.бумаг портфеля (П) безрисковая.

А(ϻ1;0), В(ϻ1;ϻ2), дох-ть бумаги А<дох-ти В.

Исходные уравнения им.вид:ϻ=ϻ1х1+ϻ2х2; Ϭ=Ϭ2х2;

Х1+Х2=1.

Допустимое множеств портфелей задается уравнением и является отрезком:

ϻ=ϻ1(1-t)+ϻ2t=ϻ1+(ϻ2-ϻ1)t

вывод:1)Допустимое множ-во П не зависит от коэффициента корреляции; 2)Допуст.мн-во П сузилось с треугольника до отрезка.

Выведите и изобразите на рисунке зависимость доходности и рис-

Ка портфеля из двух бумаг, одна из которых безрисковая, от доли безрисковой бумаги( от х).

Из рисунка видно, что риск П линейно убывает от Ϭ2 при х1=0 до нуля при х1=1, при этом дох-ть также линейно убывает от ϻ2 при х1=0 до ϻ1 при х1=1.

 

Ϭ                                 Ϭ,ϻ

В             ϻ2

Ϭ2                                                           ϻ1

Ϭ2

А

0 ϻ1 ϻ2   ϻ   0      х1

                                                           1

Приведите математическую постановку задачи нахождения портфеля минимального риска при заданной доходности.

А(ϻ1,Ϭ1)

В(ϻ2,Ϭ2), ϻ1≠ϻ2, Х=(х1,х2)

Фиксируем дох-ть ϻ

П однозначно находится как решение системы

ϻ=ϻ1х1+ϻ2х2;

х1+х2=1.

↓

Х2=1-х1

ϻ=ϻ1х1+ϻ2(1-х1) à ϻ=ϻ2+х1(ϻ1-ϻ2).

Портфель им.вид:

х1=(ϻ-ϻ2)/(ϻ1-ϻ2)

х2=(ϻ1-ϻ)/(ϻ1-ϻ2)

здесь П определяется не рисками, а дох-тями. Вместо х подставляем в квадрат риска портфеля.

Ϭ²=x1 Ϭ² 1+x2Ϭ² 2+2ρ₁₂x1x2Ϭ1Ϭ2=(Ϭ² 1(ϻ-ϻ2)^2+ Ϭ² 2(ϻ-ϻ1)^2 – 2ρ Ϭ1Ϭ2(ϻ-ϻ1)(ϻ-ϻ2))/(ϻ1-ϻ2)^2

Это как связь риска П с его дох-тью.

Но если ϻ1=ϻ2, тогда будет уравнение минимальной границы П. Общий случай(ρ любое):

Ϭ²=( Ϭ² 1(ϻ-ϻ2)^2+Ϭ² 2(ϻ-ϻ1)^2))/(ϻ1-ϻ2)^2.

При увеличении коэф.корреляции от -1 до1 происходит уменьшение ϻ. График более вытянутый к оси абсцисс.т.е. при фиксированном изменении ожидаемой дох-ти увеличение риска становится меньше.

Выведите уравнение минимальной границы.

Уравнение min границы:

n активов

V= матрица ковариации

Х=(х₁,х₂,…,х_n)^T

µ - задано

- вектор доходности

Введем =I^TV^-1I

   =I^TV^-1 = ^T V^-1I

   = ^T V^-1

   = - ²

54.