Дайте определение иммунизации портфеля облигаций и сформулируйте теорему об иммунизации портфеля облигаций

Под иммунизацией портфеля облигаций понимается такое управление портфелем, которое позволяет сохранять уровень его доходности на протяжении некоторого периода, несмотря на скачки рыночной процентной ставки.

Теорема :Предположим необходимо выплатить долг через Rровно через nлет. Дюрация такого платежа равнаn. Один из способов оплаты долга состоит в покупке бескупонной n-годичной облигации номинальной стоимостью N=R

под годовую процентную ставку r. Тогда покупка облигации обойдется в P=N/

Существует возможность замены одной облигации двумя так, что при данной процентной ставке текущая стоимость не меняется, а при изменении процентной ставки только увеличивается.

Пусть требуется выплатить долг в размере Rв момент времени t. Покупка облигации номинальной стоимостью N=R со сроком погашения tобеспечит выплату долга.

Облигация 1

Рассмотрим две бескупонные облигации N1 иN2. Cроками и , так что

<t<

Портфель состоящий из N1 иN2назовем Облигация 2,которая имеет текущую стоимость:

P2= +

Облигация 2

Потребуем, что бы при этом r=

Для того, чтобы обеспечить выполнение условий достаточно потребовать, чтобы веса платежей  удовлетворяли системе уравнений

В рассмотренной ситуации говорят, что облигация 2 иммунизирует облигацию 1

72. Какова связь между дюрацией портфеля облигаций и дюрациями
отдельных облигаций данного портфеля.

Дюрация- это ср взвешенная продолжительность выплат доходов от облигации с весами, равными дисконтир величинам доходов.

Пусть портфель состоит из 2 облигаций с потоками доходов R_k и  S_k и дюрациями

и

Для объединенного потока двух облигаций имеем

Если в портфеле q₁ и q₂ облигаций, то потоки доходов увеличиваются пропорционально этим величинам. Имеем

Из этого следует, что

и , поэтому

Т.о., приходим к выводу, что дюрация портфеля облигаций равна ср взвешенной дюраций отдельных облигаций данного портфеля с весами, равными стоимостям облигаций. Обобщая предыдущую формулу на случай m-видов облигаций получим

Где h_k – стоимостная доля облигаций вида k.

Стоимостную долю облигаций можно получить на основе не только цен облигаций, но и их курсов. В данном случае

при этом

Дайте определение и приведите формулу для выпуклости портфеля облигаций

Выпуклость портфеля облигации ,как и дюрация, находится как средняя взвешенная выпуклость отдельных облигаций данного портфеля с весами, равными стоимости облигации.

= =