Пусть известны S, i, R. Найдите срок ренты n. Приведите пример.

S,i,R – n?

N=Ln(1+Si/R)/Ln(1+i)

Пример:

S=2000

R=100

I=15%

N=Ln(1+2000*0,15\100)\Ln(1+0.15)=Ln4\Ln1.15=1.386\0.140=9.9=9

Составляет 9 лет.

Пусть известны n, i, A. Найдите рентный платеж R. Приведите

Пример.

R= A\a(n,i)

Пример:

N = 5года

A = 100000

I = 12%

А =R* (1-(1+i)^-n)\i

100000=R*(1-(1+0.12)^-5\0.12

R=27740,97

Пусть известны n , i , S . Найдите рентный платеж R. Приведите

Пример.

R= S\S(n,i)

Пример:

N = 4 года

S = 1000000

I = 10%

10^6 = 500000\(1+i)+300000\(1+i)^2+250000\(1+i)^3+X\(i+1)^4

Пусть 1\(1+i)

4545454,45+247933,88+187828,7+Х\1,4641=10^6

Х\1,4641=109691,97

X=160600

Найдите приведенную величину и наращенную сумму вечной ренты.

Вечная рента: {(0,0), (i,R), (2,R), …, (n,R), …}

PV=R/(1+i) + R/(1+i)² + … + R/(1+i)ⁿ + … = R/(1+i) * [1+1/(1+i) + … + 1/(1+i)ⁿ + …] = R/(1+i) * 1/(1-1/(1+i)) = R/(1+i) * 1/((1+i-1)/(1+i)) = R/i

B₁, [a]<1 следовательно бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

S = b1 / (1-q)

Коэффициенты привидения и наращивания ренты за несколько периодов.

A1 = {(0,0), (1,R), … , (n1,R)} – срок n1.

A2 = {(n1+1,R), …, (n1+n2, R)} – срок n2.

A = A1 +A2

PV(A)=Ra(n,i), PV(A1)= Ra(n1, i) PV (A2)=Ra(n2, i)

Ra(n,i) = Ra(n1,i) + Ra(n2,i) * (1+i)^-n

A(n,i) = a(n1,i) + a(n2,i) (1+i)^-n1

S(n,i) = S(n1,i) (1+i)ⁿ² + S(n2,i)

Общий случай: n1, n2, …, n_k, Ʃn_i=n

A(n,i)=a(n1,i)+a(n2,i)(1+i)^-n + … +a(n_k ,i)(1+i)^n1-n2-…-n_k

Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р-срочной ренты постнумерандо.

CF={(0,0), (1,R), … , (n,R)}

PV(CF) = R/(1+i) + R/(1+i)²+ … +R/(1+i)ⁿ= (R/(1+i)) * (1+ (1/(1+i)) +…+(1/(1+i)^n-1))= (R/(1+i))* (1+q+…+q^n-1)= R/(1+i) * ((qⁿ-1)/(q-1)) = (R/(1+i))* ((1+i)^-n-1)/(1/(1+i)-1)) = (R/(1+i) * ((1-(1+i)^-n)/ ((1+i-1)/(1+i)) = R* ((1-(1+i)^-n)/i)

PV(CF) = R*((1-(1+i)^-n)/i)

PV(CF) = -при t=0

FV(CF)= - при t=n

PV_t2(CF)= PV_t1*(1+i)^t2-t1

FV(CF) = PV(CF) * (1+i)ⁿ - FV(CF)=R* ((1+i)ⁿ-1)/i)

A(n,i) = (1-(1+i)^-n)/i – коэффициент привидения

S(n,i)= ((1+i)ⁿ-1)/i) - коэффициент наращения ренты.

Геометрическая прогрессия b1,q

B_n=b₁q^n-1

S_n= b₁+…+b_n=b₁* ((qⁿ-1)/(q-1))

Напишите формулы для приведенной величины и наращенной сумм p-срочной ренты постнумерандо в случае k-кратного начисления процентов. Приведите пример ее применения.

Для р-срочной ренты: A=R/P * ((1+i)^-n/(1+i)^1/p-1)

S=R/p * [((1+i)ⁿ-1)/((1+i)^1/p-1)]

Если в р-срочной ренте годовая ставка i начисляется к раз в году, то

A=R/p * (1-(1+i/k)^-kp)/((1+i/k)^k/p-1)

S= R/p * ((1+i/k)^nk-1) / ((1+i/k)^k/p-1)

При непрерывном начислении процентов (к стремится к бесконечности) (т.к. Lim (1+a/k)^k=e^a)

A= R/p * ((1-e^-in)/(e^i/p-1)) S= R/p * ((eⁱⁿ-1)/(e^i/p-1))

31. Во сколько раз больше будет наращенная сумма в конце n–ого периода при ежепериодном (в конце периода) платеже R, чем при разовом платеже R в начальный момент времени?

Пусть R- разовый платеж, в момент времени t, FV- наращенная сумма

По формуле FV=R* (1+ i ) ⁿ -1

                     i

отсюда (1+ i ) ⁿ -1   это коэффициент приращения S(n,i) следовательно

                i

FV>R в S(n,i) раз

32. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты постнумерандо.

FV=R* (1+i)ⁿ -1 =R*a(n,i)

             i

PV= R*1- (1+i)^-n  = R*S(n,i)      

                i

следовательно FV=PV*S(n,i)

                     a(n,i)

раскрыв значения S и a получим

FV=PV* ( (1+ i ) ⁿ -1 : 1- (1+ i )^-n    )

                   i i

при делении мы получим сокращения и видим что

FV= PV*(1+i)ⁿ  следовательно мы видим что FV и PV непосредственно связаны ЧТД)

Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты постнумерандо с ежеквартальным начислением процентов.

CF=(c/p; c/p;…c/p)

V=c/p=(1-(1+i)-n)/(1+i)1/p-1

В случае с ежеквартальным начислением:

(1+i) => (1+1/k)k; k=4

PV=C/P * (1-(1+i/k)-kn)/(1+i/k)k/p-1); k=4

34. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой p–срочной ренты постнумерандо с ежемесячным начислением процентов.

CF=(c/p; c/p;…c/p)

V=c/p=(1-(1+i)^-n)/(1+i)^1/p-1

В случае с ежемесячным начислением:

(1+i) => (1+1/k)^k; k=12

ð PV=C/P * (1-(1+i/k)^-kn)/(1+i/k)^k/p-1); k=12

Сформулируйте принцип финансовой эквивалентности для различных видов конверсии рент.

Основным принципом конверсии платежей является принцип финансовой эквивалентности. Он заключается в неизменном финансовом взаимоотношении сторон в случае замены финансовых обязательств, - при замене обязательств и соблюдении при этом принципов финансовой эквивалентности ни один из участников сделки не должен получить дополнительной выгоды или потерпеть ущерб.

36. Замените годовую ренту с параметрами 1 1 R ,n ,i p–срочной рентой

с параметрами 2 2 R ,n ,i . Приведите пример.

PV¹=R_1* (1-(1+i₁)^-n1/i₁)

PV²=R₂/p*(1-(1+i₂)^-n2/(1+i₂)^1/p-1

PV¹=PV²

Пример.

Заменить обычную (годовую) ренту с параметрами R₁=200 n=5 i=10% срочной (квартальной) рентой с параметрами R₂₌=100 i=10%

Найдем приведенную величину годовой ренты:

A=R₁*(1-(1+i)^-n/i)=200*(1-(1+0,1)^-5)/0,1=200*3,79=758

Находим срок четырехсрочной ренты

N₂=ln(1-A/R₂*(1+i)^1/p-1))^-1/ln(1+i)=ln(1-758/100*(1+0,1)^1/4-1)^-1/ln(1+0,1)=1,699/0,0953=17,83 лет

Дайте определение и приведите пример выкупа ренты.

Выкупом ренты называется замена ренты единовременным платежом. Принцип финансовой эквивалентности здесь сводиться к тому, что единовременный платеж P должен равняться современной величине выкупаемой ренты А.

A=R*(1-(1+i)^-n)/i=P

По этой формуле определяется величина единовременного платежа при известных параметрах выкупаемой ренты: размере отдельного платежа R, сроке ренты n и процентной ставке i.

Пример:

Замените р-срочную ренту постнумерандо с параметрами R₁=2500, n₁=6,i₁=12,5%, p=4 единовременным платежом в момент времени t=4.

Найдем единовременный платеж в момент времени t=0

A^(p)=R/p*(1-(1+i)^-n)/((1+i)^1/p-1)=P

P=625*0,5067/0,002988=10597,378 руб

Найдем единовременный платеж в момент времени t=4

P_t=4=P*(1+i)⁴=10597,378*1,125⁴=16974,95

38. Дайте определение и приведите пример консолидации рент.

Консолидация рент - объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности. Современная величина вновь образованной консолидированной ренты должна быть равна сумме современных величин заменяемых (объединяемых) рент:
PV⁽¹⁾=R₁*(1-(1+i₁)^-n1)/i₁                             PV=PV⁽¹⁾+PV⁽²⁾

PV⁽²⁾=R₂*(1-(1+i₂)^-n2)/i₂

Пример: Консолидируйте две ренты постнумерандо с параметрами R₁=1000,

n₁=3, R₂=1500,n₂=5, i=10% 4-х летней рентой постнумерандо с i=15%

PV⁽¹⁾=R₁*(1-(1+i₁)^-n1)/i₁= 1000(1-1,1^-3)/0,1= 2 487

 PV⁽²⁾=R₂*(1-(1+i₂)^-n2)/i₂=1500(1-1,1 ^-5)/0,1=5 686

 PV=PV⁽¹⁾+PV⁽²⁾= 2 487+5 686=8173

PV=R*(1-(1+0,15)^-4)/0,15

8173= R*(1-(1+0,15)^-4)/0,15 => R=2851

Дайте определение и приведите пример рассрочки платежа.

Рассрочкой платежа называется замена долга(единовременного платежа) рентой. При этом все параметры ренты, кроме одного, а этот параметр определяется из условия равенства долга современной величине вводимой ренты:               P=A=R*(1-(1+i)^-n)/i

Пример: заменить единовременный платеж 345000 в момент времени t=2 p-срочной рентой постнумерандо с параметрами R₁,n₁=5,i₁=15%, p=6

Приведем единовременный платеж в момент времени t=2 к моменту времени t=0

P_t=0=P_t=2*(1+i)^-2=345000*1,15^-2=260869,5652

A^(p)=R/p*(1-(1+i)^-n)/((1+i)^1/p-1)=P

R=P*p*((1+i)^1/p-1)/ (1-(1+i)^-n)= 260869,5652*6*(1,15^1/6-1)/(1-1,15^-5)=73370,06