Среднее квадратическое отклонение

 

Задача 97

Найти среднее квадратическое отклонение, если дискретная СВ задана рядом распределения:

 

	2	3	10
Р	0,1	0,4	0,5

Решение

1. Среднее квадратическое отклонение определяется следующим образом: , где D ( X ) – дисперсия.

2. Дисперсию можно определить по формуле: .

3. Найдем математическое ожидание СВ Х:

.

.

4. Найдем математическое ожидание М(Х²):

.

5. Определим дисперсию: .

6. Определим среднее квадратическое отклонение: .

Ответ: 3,61.

 

Задача 98

Две независимые дискретные СВ заданы рядом распределения:

 

Х	1	2	15
Р	0,1	0,5	0,8

   

Y	3	4	5
Р	0,1	0,3	0,4

 Найти среднее квадратическое отклонение суммы двух независимых случайных величин.

Решение

1. Среднее квадратическое отклонение определяется следующим образом: , где D ( X ) – дисперсия.

2. Дисперсию можно определить по формуле: .

3. Найдем математическое ожидание СВ Х:

.

.

4. Найдем математическое ожидание М(Х²):

.

5. Определим дисперсию: .

6. Определим среднее квадратическое отклонение: .

7. Найдем математическое ожидание СВ Y:

.

.

8. Найдем математическое ожидание М( Y ² ):

.

9. Определим дисперсию: .

10. Определим среднее квадратическое отклонение: .

11. СКО суммы двух независимых СВ равно сумме их СКО:

.

 

Ответ: 5,1.

 

Начальные моменты

Задача 99

Найти начальный момент третьего порядка дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	1	2	3	10
Р	0,6	0,1	0,12	0,7

Решение

1. Начальный момент к-ого порядка – это математическое ожидание к-ой степени случайной величины:

2. Напишем ряд распределения Х³:

Х3	13	23	33	103
Р	0,6	0,1	0,12	0,7

 

Х3	1	8	27	1000
Р	0,6	0,1	0,12	0,7

 

3. Определим начальный момент третьего порядка:

.

Ответ: 704,64.

 

 

Задача 100

В денежной лотерее разыгрывается 100 билетов. Из них:

- 1 выигрыш в 500 рублей;

 - 10 выигрышей по 100 рублей;

- 50 выигрышей по 10 рублей.

Найти начальный момент второго порядка СВ Х – возможного выигрыша для владельца первого лотерейного билета.

Решение

1. Начальный момент к-ого порядка – это математическое ожидание к-ой степени случайной величины:

2. Напишем ряд распределения СВ Х:

Х	500	100	10	0
Р

3. Напишем ряд распределения для Х²:

Х2	5002	1002	102	02
Р

 

Х2	250000	10000	100	0
Р	0,01	0,1	0,5	0,39

 

3. Определим начальный момент второго порядка:

Ответ: 3550.

 

 

Центральные моменты

Задача 101

Найти центральный момент второго порядка дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	0	1	1,5	2
Р	0,11	0,12	0,13	0,14

Решение

1. Центральный момент порядка к СВ Х – это математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания, т. е .

2. Найдем математическое ожидание:

.

.

3. Определим ряд распределения квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

	(0-0,595)2	(1-0,595)2	(1,5-0,595)2	(2-0,595)2
Р	0,11	0,12	0,13	0,14

 

 

	0,354	0,164	0,819	1,974
Р	0,11	0,12	0,13	0,14

4. Определим центральный момент второго порядка:

.

Ответ: 0,4411.

Задача 102

В ящике 200 деталей. Из них – 100 круглого сечения, 50 – прямоугольного сечения, остальные – овального сечения. Некто берет наугад 1 деталь. Найти центральный момент 4-го порядка СВ Х – попадания детали круглого или прямоугольного сечения.

Решение

1. Центральный момент порядка к СВ Х – это математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания, т. е .

2. Запишем в виде ряда закон распределения СВ Х:

 

Х	0	1
Р

2. Найдем математическое ожидание СВ Х:

.

.

3. Запишем ряд отклонения СВ от математического ожидания в четвертой степени:

	(0-0,75)4	(1-0,75)4
Р

 

	0,316	0,039
Р	0,25	0,75

 

3. Определим центральный момент четвертого порядка: .

Ответ: 0,08193

Задача 103

В ящике 100 деталей. Из них – 20 гильз, 40 – оболочек, 30 рубашек, остальные – сердечники. Некто берет наугад 2 детали. Первая деталь оказывается сердечником, вторая – оболочкой. Найти центрированный момент второго порядка СВ Х – попадания третьей детали гильзы.

Решение

1. Центральный момент порядка к СВ Х – это математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания, т. е .

2. Запишем в виде ряда закон распределения СВ Х:

После того, как некто взял из ящика 2 детали, там осталось 98 деталей, из которых 20 гильз, 39 оболочек, 30 рубашек, 9 сердечников.

 

Х	0	1
Р

 

 

Х	0	1
Р

 

 

3. Найдем математическое ожидание СВ Х:

.

.

4. Запишем ряд отклонения СВ от математического ожидания во второй степени:

	(0-0,204)2	(1-0,204)2
Р

 

	0,0416	0,634
Р	0,796	0,204

 

3. Определим центральный момент второго порядка: .

Ответ: 0,162.

 

Задача 104

Заданы начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков для некоторой СВ Х:

, , , .

Определить математическое ожидание, дисперсию, второй, третий и четвертый центральные моменты СВ Х.

Решение

1. По определению начального момента К-го порядка: . Тогда, математическое ожидание равно начальному моменту первого порядка заданной СВ: . Следовательно .

2. Одна из формул для определения дисперсии выглядит следующим образом: . Т. к. , , получим: . Тогда, .

3. По определению центрального момента К-го порядка: . По определению центрального момента второго порядка: . Поскольку , . Получим: .

4. Центральный момент третьего порядка можно определить по формуле:  (при выводе формулы использованы свойства математического ожидания). Получим: .

5. Центральный момент четвертого порядка можно определить по формуле:  (при выводе формулы использованы свойства математического ожидания). Получим:

.

Ответ: 1,23; 8,1371; 8,1371; 0,37408; -17.