Плотность распределения

2019-08-13

245

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 Следующая ⇒

Задача 75

Случайная величина Х задана функцией распределения: . Найти плотность распределения.

Решение

Плотность и функция распределения связаны между собой следующей зависимостью: , т. е. плотность распределения есть производная от функции распределения. Получим, .

Задача 76

Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х: . Найти вероятность того, что в результате испытаний СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Вероятность попадания СВ в интервал при заданной плотности распределения можно определить по формуле: .

Тогда, .

Ответ: 0,75.

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Задача 77

Независимая дискретная СВ задана следующим законом распределения:

Х	5	2	4
Р	0,6	0,1	0,3

Найти математическое ожидание СВ Х.

Решение

Ответ: 4,4.

Задача 78

Производятся 3 выстрела с вероятностями попадания в цель ; ; . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение

1. Пусть Х – событие, заключающееся в попадании в цель. Запишем закон распределения СВ Х в виде таблицы:

Х	Х₁=1	Х₂=1	Х₃=1
Р	0,4	0,3	0,6

2. Определим математическое ожидание каждого события Х:

;

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

Получим, .

Ответ: 1,3.

Задача 79

Найти математическое ожидание СВ, если она задана многоугольником распределения:

Решение

Ответ: 1,3.

Задача 80

Определить математическое ожидание СВ Х – выпадения герба при одном бросании монеты.

Решение

1. СВ Х принимает два значения: герб выпал один раз и ни разу не выпал(выпала решка). Вероятность появления герба – . Вероятность непоявления герба (появления решки) – . Запишем закон распределения СВ Х в виде таблицы:

Х	0	1
Р

2. Определим математическое ожидание: .

Ответ: .

Задача 81

Найти математическое ожидание непрерывной СВ Х, если задана ее функция распределения: .

Решение

1. Найдем плотность вероятности СВ Х: . Взяв производную, получим, .

2. Определим математическое ожидание. Математическое ожидание непрерывной СВ определяется по формуле: . Тогда, .

Ответ: .

Задача 82

Найти математическое ожидание НСВ Х, если задан график ее плотности распределения:

Решение

1. Выпишем в соответствии с графиком плотность распределения: .

2. Определим математическое ожидание: . Получим, .

Ответ: .

Отклонение случайной величины от математического ожидания

Задача 83

Записать закон распределения отклонения СВ от ее математического ожидания, если СВ задана следующим многоугольником распределения:

Решение

1. Выпишем для удобства ряд распределения:

Х	0	2	4	6	8
Р	0,5	0,3	0,4	0,7	0,9

2. Отклонение СВ от ее математического ожидания это ряд, образованный значениями разности между значением СВ и ее математическим ожиданием. Ряд отклонения СВ от ее математического ожидания выглядит следующим образом:

Х-М(Х)				…
Р	Р₁	Р₂	Р₃	…	Р₄

3. Вычислим математическое ожидание:

4. Определим отклонения:

5. Запишем полученные отклонения в виде ряда распределения:

	-13,6	-11,6	-9,6	-7,6	-5,6
Р	0,5	0,3	0,4	0,7	0,9

Задача 84

Найти центрированные случайные величины, если закон распределения дискретной СВ выглядит следующим образом:

Х	10	15	20	25	30
Р	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5

Решение

1. Центрированной СВ называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: . Другими словами, центрированная СВ – это есть отклонение СВ от ее математического ожидания.

Х-М(Х)				…
Р	Р₁	Р₂	Р₃	…	Р₄

3. Вычислим математическое ожидание:

4. Определим отклонения или центрированные СВ:

5. Запишем полученные отклонения в виде ряда распределения:

	-41	-36	-31	-26	-21
Р	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5

Мода

Задача 85

Найти моду, если СВ Х задана таблицей распределения:

Х	0	1	2	3	4	5	6
Р	0,1	0,7	0,2	0,3	0,4	0,8	0,9

Решение

Мода – наиболее вероятностное значение случайной величины. М=6, поскольку вероятность этого значения самая большая.

Ответ: 6.

Задача 86

Найти моду, если СВ Х задана таблицей распределения:

Х	0	9	10	12	14
Р	0,1	0,3	0,7	0,3	0,7

Решение

Данное распределение – полимодальное. М₁=10, М₂=14, поскольку вероятности этих значений самые большие из ряда и равны между собой.

Ответ: 10, 14.

Медиана

Задача 87

Найти медиану, если СВ задана рядом распределения:

Х	1	2	7	8	9
Р	0,3	0,2	0,7	0,7	0,8

Решение

Медиана делит ряд распределения или плотность распределения пополам. =7.

Ответ: 7.

Задача 88

Найти медиану, если СВ задана рядом распределения:

Х	3	4	5	6
Р	0,9	0,9	0,9	0,9

Решение

Медиана делит ряд распределения или плотность распределения пополам. В случае четного количества значений СВ медиана равна среднему арифметическому: .

Ответ: 4,5.

Задача 89

Найти медиану, если задана плотность распределения СВ:

Решение

Медиана делит ряд распределения или плотность распределения пополам. =4.

Ответ: 4.

Задача 90

Стрелок производит 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку насчитывается 5 очков. Определить медиану ряда распределения СВ – количества выбитых очков.

Решение

1. Пусть Х – число выбитых очков.

2. Определим возможные значения Х:

, , , , .

3. Определим вероятность непопадания в цель: : .

4. Определим возможные вероятности значений СВ Х. Эти вероятности можно определить по теореме о повторении опытов.

, где - число опытов

к – количество появлений случайной величины.

5. Запишем ряд распределения:

Х	0	5	10	15	20
Р	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

6. Определим медиану:

Медиана делит ряд распределения или плотность распределения пополам, тогда, Ме=10.

Ответ: 10.

Дисперсия

Задача 91

Найти дисперсию СВ Х, если СВ задана рядом распределения:

Х	1	3	7
Р	0,1	0,2	0,3

Решение

1. Одна из формул для определения дисперсии выглядит следующим образом: , т. е дисперсия СВ равна математическому ожиданию квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания.

2. Найдем математическое ожидание

3. Вычислим квадрат отклонения СВ Х: :

а) ;

б) ;

в) .

4. Напишем в виде таблицы закон распределения для квадрата отклонения:

	3,24	0,04	17,64
Р	0,1	0,2	0,3

5. Вычислим дисперсию: .

Ответ: 5, 624.

Задача 92

Найти дисперсию СВ Х, если СВ задана рядом распределения:

Х	0	1	2
Р	0,1	0,2	0,4

Решение

1. Одна из формул для определения дисперсии выглядит следующим образом: , т. е. дисперсия СВ равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.