Самостоятельная работа

Вариант 1

Задача 1

В урне 16 белых и 8 черных шара. Из урны наугад берется 1 шар, найти вероятность того, что этот шар будет черным.

Задача 2

В партии 1000 деталей. Известно, что 100 из них имеют опасные дефекты, 200 – менее опасные дефекты, 300 второстепенные дефекты. Наугад берется одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь будет с опасным или менее опасным дефектом.

Задача 3

Найти дисперсию СВ Х, если СВ задана рядом распределения:

Х	0,2	1,5	2,4
Р	0,15	0,42	0,43

Задача 4

Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь из первого набора стандартная равна 0,8. Вероятность того, что деталь из второго набора стандартная равна 0,3. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора – стандартная.

Задача 5

Случайная величина Х задана функцией распределения: . Найти плотность распределения.

Задача 6

Вычертить график плотности нормального распределения , если , .

Задача 7

Заданы начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков для некоторой СВ Х:

, , , .

Определить математическое ожидание, дисперсию, второй, третий и четвертый центральные моменты СВ Х.

Задача 8

Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х: . Найти вероятность того, что в результате испытаний СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1,5).

Вариант 2

Задача 1

В урне 60 шаров: 20 красных, 30 синих, 10 белых. Некто наугад вытаскивает из урны 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар будет цветным (синим или красным).

Задача 2

В колоде 36 карт. Наудачу извлекаются 4 карты. Этими картами оказываются дама, туз, шестерка, валет. Найти вероятность того, что следующая вытянутая из колоды карта окажется либо дамой, либо королем, либо тузом.

Задача 3

В урне 15 белых и 13 черных шара. Некто вынимает 1 шар. Этот шар оказывается черным. Найти вероятность того, что следующий шар будет белым. Применить формулы комбинаторики.

Задача 4

Детали попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру 0,64, ко второму 0,36. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым контролером, равна 0,91. Деталь признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил второй контролер.

Задача 5

 Дискретная случайная величина задана таблицей распределения:

Х	1	4	8
Р	0,27	0,13	0,6

Найти и вычертить функцию распределения.

Задача 6

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2. Среднее квадратическое отклонение равно 5. Найти, чему равна плотность распределения в точках, где Х принимает следующие значения: х₁=0, х₂=-1, х₃=1.

Задача 7

В ящике 100 деталей. Из них – 20 гильз, 40 – оболочек, 30 рубашек, остальные – сердечники. Некто берет наугад 2 детали. Первая деталь оказывается сердечником, вторая – оболочкой. Найти центрированный момент второго порядка СВ Х – попадания третьей детали гильзы.

Задача 8

Независимая дискретная СВ задана следующим законом распределения:

Х	5	2	4
Р	0,42	0,28	0,3

Найти математическое ожидание СВ Х.

 

Вариант 3

Задача 1

Подбрасываются 2 игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков на двух кубиках будет равна 10.

Задача 2

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область . Вероятность попадания во вторую область . Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Задача 3

В колоде 36 карт. Наудачу извлекаются 5 карт. Этими картами оказываются десятка, дама, туз, шестерка, валет. Найти вероятность того, что подряд будут вытянуты следующие карты: дама, король, туз.

Задача 4

В ящике 25 деталей, из которых 5 биметаллических и 20 латунных. Контролер наугад вынимает 1 деталь. Эта деталь оказывается биметаллической. Найти вероятность того, что следующая деталь будет латунной. Применить формулы комбинаторики.

Задача 5

В денежной лотерее выпущено 300 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей, десять выигрышей по 100 рублей и пятьдесят выигрышей в 10 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца седьмого лотерейного билета и представить его рядом и многоугольником распределения. Из шести предыдущих человек трое выиграли 10 рублей.

Задача 6

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: . Найти вероятность того, что в результате испытаний СВ примет значение, принадлежащее интервалу (0, 3).

Задача 7

На испытательном полигоне испытывается установка. Среднее количество выстрелов в секунду равно 4.

а) Найти вероятность того, что за 2 секунды произойдет менее 5 выстрелов. б) Найти вероятность того, что за 2 секунды произойдет не менее 5 выстрелов.

Задача 8

В ящике 200 деталей. Из них – 100 круглого сечения, 50 – прямоугольного сечения, остальные – овального сечения. Некто берет наугад 1 деталь. Найти центральный момент 4-го порядка СВ Х – попадания детали круглого или прямоугольного сечения.

Вариант 4

Задача 1

В колоде 36 карт. Наугад из колоды вынимаются 6 карт, из них оказывается 3 туза, шестерка, 3 дамы. Найти вероятность того, что следующая вынимаемая из колоды карта окажется

а) десяткой; б) бубновой десяткой; в) дамой.

Задача 2

Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение СВ равно 1,5. Найти максимум плотности распределения  Чему равен х, если математическое ожидание равно 4.

Задача 3

Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна 0,6. Стрелок произвел 20 выстрелов. Найти вероятность того, что все выстрелы дали попадание.

Задача 4

В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 500 рублей, пятнадцать выигрышей в 100 рублей, двадцать пять выигрышей в 50 рублей. Покупатель первого билета ничего не выиграл. Покупатель второго – 50 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца третьего лотерейного билета и представить его рядом и многоугольником распределения.

Задача 5

На циферблате часов имеются только 4 цифры: 12, 3, 6 и 9. Большая стрелка в данный момент времени располагается между цифрами 3 и 6, маленькая – между 9 и 12. Считая распределение случайных величин – расположения большой и маленькой стрелок – равномерным, определить плотность этих распределений и вычертить их графики.

Задача 6

Из орудия проводится стрельба до первого попадания. Вероятность попадания в цель равна р=0,8. Найти вероятность того, что попадание произойдет при 6 выстреле.

Задача 7

Найти центральный момент второго порядка дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	0	1	1,5	2
Р	0,11	0,12	0,13	0,64

Задача 8

Найти математическое ожидание непрерывной СВ Х, если задана ее функция распределения: .

Вариант 5

Задача 1

В ящике имеется 25 деталей, среди которых 9 круглого сечения, остальные – квадратного. Сборщик на удачу извлек 6 деталей. Найти вероятность того, что эти 6 извлеченных деталей окажутся квадратного сечения.

Задача 2

Из карточек, образующих слово «КОМПЬЮТЕР», наудачу выбирают четыре и выкладывают слева направо. Найдем вероятность   того, что в результате получится слово «МОРЕ» и вероятность Р(В) того, что в результате получится любое другое слово.

Задача 3

Брошены 3 игральные кубика. Найти вероятность того, что на трех кубиках одновременно выпадут пять очков.

Задача 4

Монета брошена 3 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.

Задача 5

Шкала прибора проградуирована в некоторых единицах. Рассматривается СВ Х – ошибка при округлении счета до ближайшего целого деления. Два соседних целых деления имеют значения 2 и 6. Считая распределение СВ равномерным, определить плотность этого распределения и вычертить ее график.

Задача 6

В ящике 10 шаров, 3 из которых красных. Некто вытаскивает 1 шар и кладет его обратно. Найти вероятность того, что некто вытащит красный шар с пятой попытки.

Задача 7

В денежной лотерее разыгрывается 100 билетов. Из них:

- 1 выигрыш в 500 рублей;

 - 10 выигрышей по 100 рублей;

- 50 выигрышей по 10 рублей.

Найти начальный момент второго порядка СВ Х – возможного выигрыша для владельца первого лотерейного билета.

Задача 8

Дискретная случайная величина задана таблицей распределения:

Х	1	4	8
Р	0,4	0,1	0,5

 Найти дисперсию, моду и медиану.

Вариант 6

Задача 1

В ящике имеется 20 деталей, среди которых 10 окрашенных и 10 бракованных. Сборщик на удачу извлек 3 детали. Найти вероятность того, что эти три извлеченные детали окажутся окрашенными.

Задача 2

В урне 8 белых и 5 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

Задача 3

Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,5, а вторым 0,6.

а) Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями;

б) Найти вероятность совместного не поражения цели двумя орудиями;

в) Найти вероятность того, что первое орудие поразит цель, а второе не поразит.

г) Найти вероятность того, что первое орудие не поразит цель, а второе поразит.

Задача 4

Кубик брошен 3 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – выпадения шести очков.

Задача 5

Определить математическое ожидание СВ Х – выпадения герба при одном бросании монеты.

Задача 6

Среди 500 изделий 200 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 25 изделий окажется ровно 20 окрашенных.

Задача 7

Найти начальный момент третьего порядка дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	1	2	3	10
Р	0,32	0,15	0,12	0,41

Задача 8

Стрелок производит 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,42. За каждое попадание стрелку насчитывается 10 очков. Определить моду и медиану ряда распределения СВ – количества выбитых очков.

Вариант 7

Задача 1

Пациент, придя в поликлинику, забыл пятизначный номер своей карты, помня лишь то, что в номер карты входили цифры: 2, 3, 4, 5, 6. Найти вероятность того, что пациент в регистратуре только с пятого раза укажет номер своей карты.

Задача 2

В урне 7 белых и 6 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором испытании – белый шар. Найти вероятность того, что при втором испытании появится белый шар.

Задача 3

Найти вероятность появления герба при одновременном бросании 10 монет.

Задача 4

Имеется пять станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Перерыв связи со станицей наступает независимо с вероятностью р=0,2. Определить вероятность того, что в данный момент времени не будет иметься связь не более чем с двумя станциями.

Задача 5

Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение СВ равно . Найти максимум плотности распределения  Чему равен х, если математическое ожидание равно 3.

Задача 6

В партии из 20 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 6 деталей окажется 2 стандартных детали.

Задача 7

Две независимые дискретные СВ заданы рядом распределения:

 

Х	1	2	15
Р	0,05	0,05	0,8

 

Y	3	4	5
Р	0,25	0,35	0,4

  

 Найти среднее квадратическое отклонение суммы двух независимых случайных величин.

Задача 8

Найти дисперсию, моду и медиану СВ Х, если СВ задана рядом распределения:

Х	2	3	9
Р	0,14	0,21	0,65

Вариант 8

Задача 1

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, что эти цифры различны и идут по убыванию, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Задача 2

В ящике с деталями находятся детали двух сечений: круглого и прямоугольного. Деталей круглого сечения – 15, деталей прямоугольного – 22. Наугад берется 1 деталь. Она оказывается круглого сечения. Деталь в ящик не возвращается. Наугад берется еще 1 деталь. Найти вероятность того, что она будет прямоугольного сечения.

Задача 3

Имеется 3 ящика, содержащих по 7 деталей. В первом ящике 1 стандартная деталь, во втором 2, в третьем 3. Из каждого ящика на удачу вынимается по одной детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся стандартными.

Задача 4

Имеются четыре установки, работа которых время от времени прерывается из-за условий производства. Перерыв в работе установок наступает независимо с вероятностью Р=0,22. Определить вероятность того, что в данный момент времени не будут работать не более чем две установки.

Задача 5

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание равно 3, среднее квадратическое отклонение равно 2. Вычертить график плотности распределения.

Задача 6

Через заводские проходные движется поток людей: в первую минуту после окончания смены – 10 человек, во вторую минуту – 9 человек, в третью минуту – 6 человек, в четвертую минуту – 4 человека, в пятую минуту – 1 человек. Найти вероятность того, что за 15 минут через проходные пройдут 25 человек.

Задача 7

Найти среднее квадратическое отклонение, если дискретная СВ задана рядом распределения:

	4	9	16
Р	0,1	0,5	0,4

Задача 8

У сборщика имеется 4 вида деталей: круглого, треугольного, овального и квадратного сечений. Круглого сечения – 11 штук. Треугольного сечения – 12 штуки. Овального сечения – 13 штук. Квадратного сечения - 14 штук. Найти вероятность того, что сборщик подряд возьмет следующие четыре детали: треугольного сечения, квадратного сечения, овального сечения, круглого сечения.

Вариант 9

Задача 1

Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 7 деталей, имеющих круглое и квадратное сечения?

Задача 2

На карточках написаны буквы, образующие слово «ВЕРТОЛЁТ». Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо четыре карточки. Найдем вероятность того, что получится слово «ЛЕТО» (событие ).

Задача 3

Имеются 2 барабана, в которых находятся выигрышные билеты. В первом барабане из 200 билетов выигрышных 6. Во втором барабане из 250 билетов выигрышных 10. Из каждого ящика на удачу вынимается по одному билету. Найти вероятность того, что оба билета окажутся выигрышными. Найти вероятность того, что оба билета окажутся невыигрышными.

Задача 4

Завод отправил на базу 10 000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, составляет р=0,0001. Найти вероятность того, что на базу прибудут ровно 2 поврежденных изделия.

Задача 5

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание равно 30, среднее квадратическое отклонение равно 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу [12, 20].

Задача 6

В ящике 40 деталей, из которых 15 стандартных. Из ящика наугад взяли 6 деталей. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 6 деталей хотя бы одна стандартная.

Задача 7

Смешанная СВ задана следующим образом:

- рядом распределения:

Х	3	6	9
Р	0,95	0,02	0,03

- плотностью распределения вероятностей:

, Найти математическое ожидание.

 

Задача 8 Найти дисперсию непрерывной СВ Х, если задана плотность распределения: .

Вариант 10

Задача 1

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей, среди которых есть окрашенные и неокрашенные?

Задача 2

 У сборщика имеется 16 конусных и 11 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый валик эллиптический, второй валик конусный.

Задача 3

Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: Р₁=0,8; Р₁=0,76; Р₁=0,92. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из трех орудий. 

Задача 4

АРЛ за определенный период выпускает 20 000 штук деталей. Вероятность того, что деталь будет негодной по всем параметрам составляет р=0,00002. Найти вероятность того, что за определенный период времени АРЛ выпустит ровно 5 таких деталей. 

Задача 5

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту равно 7. Найти вероятность того, что за 10 минут поступят 65 вызовов, 60 вызовов.

Задача 6

Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание равно 1,5. Среднее квадратическое отклонение равно 3. Определить точки перегиба плотности распределения .

Задача 7

Из орудия проводится стрельба до первого попадания. Вероятность попадания в цель равна р=0,72. Найти вероятность того, что попадание произойдет при 6 выстреле.

Задача 8

Найти дисперсию непрерывной СВ Х, если задана функция распределения: .