Геометрическое распределение

Задача 59

Из орудия проводится стрельба до первого попадания. Вероятность попадания в цель равна р=0,7. найти вероятность того, что попадание произойдет при 5 выстреле.

Решение

1. Выпишем значения обозначений: вероятность наступления единицы события р=0,7; количество событий К=5.

2. Определим вероятность не наступления единицы события

q=1-Р

q=1-0,7=0,3.

3. Определим искомую вероятность:

.

Ответ: 0, 00567.

 

Задача 60

В ящике 10 шаров, 3 из которых красных. Некто вытаскивает 1 шар и кладет его обратно. Найти вероятность того, что некто вытащит красный шар с пятой попытки.

Решение

1. Определим вероятность появления красного шара:

.

2. Выпишем значения обозначений: вероятность наступления единицы события Р=0,3; количество событий К=5.

2. Определим вероятность не наступления единицы события

q=1-Р

q=1-0,3=0,7.

3. Определим искомую вероятность:

.

Ответ: 0,0081.

 

Гипергеометрическое распределение

Задача 61

Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение

1. Выпишем значения обозначений: N=50, M=20, n=5, m=3.

2. Определим искомую вероятность: 

.

Ответ: 0,234.

 

Задача 62

В партии из 12 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 6 деталей окажется 3 стандартных детали.

Решение

 

1. Выпишем значения обозначений: N=12, M=8, n=6, m=3.

2. Определим искомую вероятность: 

 

Ответ: 0,3636

 

Нормальное распределение

Задача 63

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание равно 3. среднее квадратическое отклонение равно 6. Найти, чему равна плотность распределения в точках, где Х принимает следующие значения: х₁=0, х₂=-1, х₃=1.

Решение

1. Плотность нормального распределения СВ выглядит следующим образом:

, где а – математическое ожидание,  - среднее квадратическое отклонение.

2. Определим значение плотности вероятности для х₁=0:

 

.

3. Определим значение плотности вероятности для х₁=-1:

 

.

4. Определим значение плотности вероятности для х₁=1:

 

.

 

Задача 64

Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение СВ равно . Найти максимум плотности распределения  Чему равен х, если математическое ожидание равно 3.

Решение

1. Плотность нормального распределения имеет максимум в точке .

2. Определим максимум:

.

3. Поскольку для нахождения максимума , следовательно, плотность нормального распределения имеет максимум в том случае, если значение х равно математическому ожиданию. Таким образом, х=3.

 

Задача 65

Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание равно 2, среднее квадратическое отклонение равно 5. Определить точки перегиба плотности распределения .

Решение

1. Точки перегиба – это точки графика ,  и , .

2. Определим :

.

3. Определим :

.

4. Определим :

.

5. Определим :

.

6. Запишем точки перегиба:

,

, .

 

Задача 66

Вычертить график плотности нормального распределения , если , .

Решение

1. Определим максимум плотности распределения: , при х=а, следовательно,

точки максимума имеют значения:

.

2. Определим точки перегиба:

;

;

;

.

3. Возьмем две дополнительные точки в интервале от 1 до 4 и в интервале от  до 1. Это будут, например, точки х₄=3 и х₅=0.

Определим в этих точках значения плотности нормального распределения:

.

;

 

.

.

4. Поскольку кривая плотности нормального распределения симметрична относительно прямой х=а, следовательно,

х₆=5, y₆=0,126, x₇=8, y₇=0,055.

 

Задача 67

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание равно 30, среднее квадратическое отклонение равно 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу [10,50].

Решение

1. Вероятность попадания СВ в заданный интервал определяется формулой:

, где Ф – функция Лапласа,  - большее значение интервала,  - меньшее значение интервала, а – математическое ожидание,  - среднее квадратическое отклонение.

2. Определим искомую вероятность:

.

3. По таблице функции Лапласа находим Ф(2)=0,4772. Отсюда искомая вероятность:

Ответ: 0,9544

Задача 68

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание равно 5, среднее квадратическое отклонение равно 3. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу [2,6].

Решение

1. Вероятность попадания СВ в заданный интервал определяется формулой:

, где Ф – функция Лапласа,  - большее значение интервала,  - меньшее значение интервала, а – математическое ожидание,  - среднее квадратическое отклонение.

2. Определим искомую вероятность:

.

3. По таблице функции Лапласа находим Ф(1,33)=0,4082. Отсюда искомая вероятность:

Ответ: 0,4082