Термины «сумма», «разность»

(Задания 46-51)

Цель этих заданий — ввести новый смысл термина разность и новый термин сумма.

46.1 Отмечается, что разность чисел находится вычитанием, причем для этого надо из большего числа вычесть меньшее. Дети записывают выражение 6-4. Учитель предлагает называть его разностью. Выражение прочитывается двумя способами: 1) «шесть минус четыре» и 2) «разность чисел шесть и четыре» или «разность шести и четырех». При втором способе чтения большее число читается первым (как и принято), так как оно идет в записи первым. Вычисляется значе­ние выражения, прочитывается вся запись 6-4 = 2: «разность чисел шесть и че­тыре равна двум».

46.2 Отмечается, что для нахождения целого надо сложить все части, после че­го записывается выражение б + 4 + 2 и вычисляется его значение б + 4 + 2 = 12. Учитель сообщает, что результат сложения (целое) принято в математике назы­вать еще словом сумма, и предлагает называть этим словом и само выражение, описывающее поиск суммы. Выражение прочитывается двумя способами: 1) «шесть плюс четыре плюс два» и 2) «сумма чисел шесть, четыре и два» или «сумма шести, четырех и двух». Читается вся запись: «сумма чисел шесть, четыре и два равна двенадцати».

46.3 Записываются и прочитываются соответствующие выражения, а затем на­ходятся их значения. Обращается внимание на то, что при записи разности боль­шее число идет первым (из большего числа вычитается меньшее).

47 Ловушка: запись 13 - 17 не имеет смысла. Отмечается, что в сумме можно числа менять местами, а в разности — нет.

Примечания. 1) Понятие разности вводилось в первом классе не как результат действия вычитания, а в связи со сравнением чисел (и величин). Под раз­ностью чисел понималось число, на которое эти числа различаются, т. е. число, на которое одно больше другого, а другое, соответственно, меньше. В этом смысле разность чисел определяется однозначно и не связано с тем, какое из чисел произносится первым, т. е. фразы «разность чисел 5 и 3» и «разность чисел 3 и 5» имеют один и тот же смысл, в них речь идет о числе 2. Действиями же сложения и вычитания в тот момент нахо­дились только большее и меньшее числа. Сама разность определялась не­посредственно по числовой прямой, и вопрос об арифметическом дейст­вии, которым она находится, не поднимался. Также в первом классе после рассмотрения отношения «частей и целого» и выяснения связанного с ним нового смысла действий сложения и вычитания названия членов этого от­ношения стали использоваться и для компонентов этих действий. Теперь после того, как выяснилось, что разность чисел может рассматриваться как часть большего числа, дополняемая до него меньшим числом, стало воз­можным находить разность арифметическим действием вычитания: чтобы найти разность чисел (часть), надо из большего числа (целого) вычесть меньшее число (другую часть). Это позволяет использовать термин «раз­ность» также для называния результата вычитания и соответствующего выражения, т. е. перейти к стандартному употреблению этого термина. И хотя исходный смысл понятия «разность» сохраняется и обе фразы «разность чисел 5 и 3» и «разность чисел 3 и 5» по-прежнему говорят об одном числе 2, однако только запись 5-3 является правильной записью, обозначающей это число. Запись 3-5 является просто ошибочной (не­правильной) и не может претендовать на то, чтобы называться разностью (разность чисел находится вычитанием из большего числа меньшего; из меньшего числа нельзя вычесть большее). Совершенно бесполезно в на­чальной школе разводить записи 5 - 3 и 3 - 5 как различные разности (чисел 5 и 3 и чисел 3 и 5), поскольку за второй для детей не лежит ника­кой реальности, она просто не имеет смысла. Только с введением отрица­тельных чисел (т. е. в среднем звене) это различие приобретает смысл, но тогда и надо проводить соответствующее уточнение понятия разности.

2) В отличие от разности, термин «сумма» не был нами еще задействован. И он

будет употребляться стандартно: как название результата сложения и на­звание соответствующего выражения. В первом смысле он является просто синонимом слова «целое». Остальные стандартные названия компонентов сложения и вычитания (слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое), которые бу­дут введены позже (задания 72,163, ч. 1), также будут использоваться как синонимы уже употребляющихся терминов «часть» и «целое».

3) Слово «разность» в смысле результата вычитания является для нас синонимом

слова «часть», однако для названия выражения будет использоваться только слово «разность». Аналогично, для названия выражения, описы­вающего действие сложения, будет употребляться только слово «сумма».

4) В случае таких выражений, как сумма и разность, слово «значение» является

лишним, поскольку и выражение, и его значение называются одним и тем же словом. Разностью называется как выражение 6-4, так и его значе­ние — число 2. Чтобы различать эти два смысла слова «разность», лучше в случае выражения говорить «запиши разность», а в случае значения вы­ражения — «вычисли разность». Таким же образом надо поступать со сло­вом «сумма».

49 Задача требует выполнения предварительных измерений. Их результаты используются затем при выборе арифметического действия. Фигура с площадью К строится отдельно (как это и требуется заданием), но ее можно показать (до­полнительно) и внутри большей площади.

50 В заданном чертеже не проставлен вопросительный знак. Учащиеся, со­ставляя текст задачи, должны сами выделить «интересное» неизвестное (то, ко­торое нужно вычислять) — это разность, а не часть, равная меньшей величине.