Арифметические операции над
Действительными числами Пусть а=а0,а1а2…an… - произвольное действительное число. Пусть для определенности a > 0. Оборвем дробь на k - ом знаке после запятой. Получим рациональное число а0,а1а2…ak . Увеличив его на , получим другое рациональное число а0,а1а2…ak + . По правилу сравнение действительных чисел имеем а0,а1а2…ak ≤ а0,а1а2…ak… ≤ а0,а1а2…ak + , . При увеличении k дробь может быть сделана как угодно малой. Значит, для любого действительного числа а и любого как угодно малого числа ε < 0 найдутся рациональные числа α1 и α2 такие, что α1 ≤ α ≤ α2. α2 - α1 < ε. Пусть а и b – действительные числа, α1 ≤ а ≤ α2, β1 ≤ b ≤ β2, где α1 и α2, β1 и β2 – рациональные числа, построенные как выше. Определение 1. Суммой действительных чисел а и в назовем действительное число с, удовлетворяющим неравенствам α1+ β1 ≤ с ≤ α2+ β2. Можно показать, что такое число с существует и единственно. Нетрудно догадаться, что этим числом является верхняя грань множества всех сумм α1+ β1. Это множество не пусто и ограничено сверху, т.е. имеет верхнюю грань. Она совпадает с нижней гранью множества всех сумм α2+ β2. Определение 2. Разностью а – b действительных чисел а и b назовем действительное число r такое, что b + r = a. Определение 3. Произведением положительных действительных чисел а и b назовем такое действительное число p, что α1β1 ≤ p ≤ α2β2. Произведение действительных чисел любого вида определяется по правилу: 1) а∙0 = 0∙а = 0 2) Если а и b одного знака, то а∙b > 0, если а и b разных знаков, то а∙b < 0. Определение 4. Частным (b≠0) действительных чисел а и b называется число l такое, что b∙l = a. Неравенство Бернулли. (m – натуральное число, х – действительное число, х>-1). Доказательство методом математической индукции. m = 1. Соотношение справедливо: 1+x = 1+ x. m = k. Допустим, что справедливо . (1) m = k+1. Умножим обе части неравенства (1) на 1+x >0.
То есть неравенство справедливо при любом натуральном k.
Абсолютная величина действительного числа Число, обозначаемое через и определенное для любого действительного числа a по формуле называется абсолютной величиной числа a.
Теорема 1. Неравенства и –a<x<a равносильны.
Доказательство. 1) Дано , т.е. , , –a< x < a.
2)Дано –a < x < a. Значит , .
Одно из чисел x или (-x) есть . Значит . Теорема доказана. Теорема 2. , .
Доказательство. Если a ≥ 0, то = a. Значит –a ≤ 0 ≤ a = . Если a < 0, то a < 0 < - a = . Теорема доказана. Из теорем 2 и 1 можно записать – ≤ a ≤ Теорема 3. , . Доказательство. 1) – ≤ a ≤ , – ≤ b ≤ . Сложив эти неравенства, имеем и по теореме 1 . 2) a=(a-b)+b. , т.е. . Теорема доказана. Теорема 4. , . Доказательство следует из правил умножения и деления действительных чисел.
Промежутки Множество , состоящее из множества R действительных и двух символов, или точек, - ∞ и + ∞, называется расширенным множеством действительных чисел. На символы - ∞ и + ∞ распространяется отношение порядка по правилу - ∞ < x, + ∞ > x, - ∞ < + ∞, . Обычные действительные числа в отличии от - ∞ и + ∞ называются конечными действительными числами. По определению x + (+ ∞) = + ∞, x + (- ∞) = - ∞, ; (+∞) + ( - ∞) не имеет смысла. Для , x > 0 x ∙ (+ ∞) = + ∞, x ∙ (- ∞) = - ∞, (- x) ∙ (+∞) = - ∞, ( - x) ∙ ( - ∞) = + ∞, ( + ∞) ∙ (+ ∞) = + ∞, (- ∞) ∙ ( - ∞) = + ∞, (+ ∞) ∙ ( - ∞) = - ∞. Не определено 0∙( + ∞) и 0 ∙ ( - ∞). Множества действительных чисел, называемые промежутками, имеют специальные обозначения.
Например, множество M = {x ϵ R, a ≤ x < b} = [a,b). Для заданного x всякий интервал вида, (x - ε, x+ε), где ε > 0, называется ε – окрестностью или просто окрестностью числа x на числовой прямой.
Глава 2. Функции
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (236)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |