Множество действительных чисел

Часть 1. Введение в анализ.

Глава 1. Действительные числа.

Множество действительных чисел

   Понятие действительного числа можно ввести несколькими различными способами. В процессе счета возникают натуральные числа 1,2,….,n, …. На множестве этих чисел операции вычитания и деления выполнимы не всегда. Приходится расширять множество натуральных чисел и приходим к отрицательным целым числам -1,-2,….,- n, …, а затем и к рациональным числам ( , p и q целые числа и число 0).

Необходимость в рациональных числах возникает и в процессе измерений. Та же потребность измерений приводит к дальнейшему расширению запаса чисел. Появляются иррациональные числа и, наконец, комплексные числа.

Рассмотрим задачу об измерении отрезка. Введем числовую ось – прямую, на которой выбрано начало отсчета 0 и, масштабный отрезок ОЕ длины 1 и положительное направление (обычно от О к Е).

Всякому рациональному числу  на числовой оси соответствует определенная точка, т.к. отрезок длины  мы найти умеем. Существование несоизмеримых отрезков показывает, что не все точки числовой оси соответствуют рациональным числам.

Покажем, что всякой точке М числовой оси можно поставить в соответствие вполне определенное число. Откладываем ОЕ на ОМ. Возможны два случая.

1) ОЕ откладывается на ОМ целое число раз  с остатком  < . В этом случае  – приближенный результат измерения отрезка ОМ по недостатку с точностью до 1.

2) ОЕ откладывается на ОМ целое число раз   без остатка. В этом случае    - результат измерения ОМ по недостатку с точностью до 1. Остаток |NM|=|OE|.

Далее возьмем   и откладываем его на на NM. Снова возможны два случая.

1)    откладывается на NM целое число раз a₁ с остатком РМ, |PM|<| |. Число a₀, a₁ полагаем приближением по недостатку с точностью до .

2)   укладывается на NM целое число раз   без остатка. Полагаем a₀, a₁ приближением по недостатку с точностью до . Остаток |PM|=| |.

Продолжая этот процесс неограниченно, получаем бесконечную совокупность рациональных чисел а₀; а₀,а₁; …; а₀а₁а₂…а_n; …. Каждое из этих рациональных чисел можно получить путем отбрасывания на соответствующим месте десятичных знаков у дроби а₀,а₁а₂…а_n…. Эту бесконечную десятичную дробь и поставим в соответствие точке M.

Таким образом всякой точке числовой оси ставится в соответствие вполне определенная бесконечная десятичная дробь. Числа, представимые бесконечными десятичными дробями, назовем действительными или вещественными числами. Множество всех бесконечных десятичных дробей назовем множеством действительных чисел.

Итак, показано, что каждой точке числовой оси соответствует единственное действительной число. В геометрии принята аксиома: каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси. Так что соответствие между точками числовой оси и действительными числами взаимно однозначно.

В состав действительных чисел входят и рациональные числа (¹/₂ =0,5=0,499…). Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Два действительных числа a = a₀,a₁a₂…a_n… и  называются равными, если , , … ,  … . Пусть , т.е. , ,…, , . Если , то считаем  если а и b неотрицательны.

Если же а и b отрицательны, то при  считаем . Всякое отрицательное число меньше неотрицательного.

Таким образом любые два действительных числа а и b удовлетворяют одному и только одному из условий соотношений а = b, , . Это свойство называется свойством упорядоченности действительных чисел.

Позднее в курсе числовых систем будет дано аксиоматическое построение теории действительных чисел.