Действительной переменной
Отображение числового множества в числовое множество называется функцией одной переменной. Определение 1. Пусть заданы два произвольных числовых множества D и E. Если каждому поставлен в соответствие один и только один , обозначаемой через и если при этом каждый элемент оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному , то на множестве D задана однозначная функция одной переменной. Если , , то имеем действительную функцию одной действительной переменной. Множество D – область определения, E – множество значений, – аргумент или независимая переменная. К числовым функциям приложимо все сказанное в предыдущем параграфе. Если допускать, что может соответствовать не только одно, но и несколько значений , то функцию называют многозначной. Область определения функции – множество всех значений аргумента. Структура области определения зависит от конкретного смысла величин x и y и от содержания задачи. Например, если x – радиус круга, y – его площадь, т.е. , то D = (0,+∞). Часто функция задается формулой, причем относительно области определения и конкретного смысла величин ничего не говорится. В таких случаях под областью определения понимается множество всех действительных чисел x, на котором функция принимает действительные значения y и вместо «область определения» говорят «область существования». Нужно учитывать, что : 1) выражение, стоящее в знаменателе, отлично от 0; 2) выражение, стоящее под знаком корня четной степени ≥ 0; 3) выражение, стоящее под знаком логарифма > 0; 4) выражение, стоящее под знаком функции арксинус или арккосинус принимает значение из [-1,1]; 5) основание степени с иррациональным показателем > 0. Пример 1. 1) . D = { }, E = { }. 2) . D = [2,+∞), E = [0,+∞). 3) . D = (0,+∞), E = (0,+∞). Функция полностью определяется также заданием множества всех пар (x, ). Это множество является подмножеством числовой плоскости. Его изображение на координатной плоскости называют графиком функции . График функции – множество точек плоскости с координатами (x, ), .
Пример 2. sgn x = Сигнум – знак (лат.) D = R, E = {-1, 0, 1}.
Пример 3. – наибольшее целое, не превосходящее x. Антье – целое (лат.) [3,2] = 3, [4] = 4, [-3,2] = -4 и т.д.
D = R, E = Q – множество целых чисел.
Пример 4.
Функция Дирихле. D = R, E = {0,1}. График начертить нельзя. Функция и y g = (x) называются равными, если: 1) их области определения совпадают; 2) значения функций совпадают. Пишут f (x) = g (x). Например, функции f (x) = и g (x) = x + 1 различны, т.к. у них различны области определения (f(1) не существует, g (1) существует). Пусть f1 (x) и f2(x) имеют области определения D1 и D2 соответственно, причем . Функция , определенная на множестве D, называется суммой функций f1 (x) и f2(x), если . Аналогично определяется сумма любого конечного числа слагаемых, а также разность, произведение и частное. Определяя частное, из области D нужно исключить все точки, в которых знаменатель равен нулю.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (244)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |