Верхняя и нижняя грани числового множества
Определение 1. Множество М действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существуют такое действительное число а, что для всякого выполняется неравенство . Число а ограничивает множество М сверху (снизу) и называется верхней (нижней) границей множества М. Определение 2. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным множеством. Пример. Множество натуральных чисел ограничено снизу, но ограниченным не является. Множество корней уравнения х2 – 4=0 ограничено. Если множество не является ограниченным (сверху, снизу), то оно называется неограниченным (сверху, снизу). Если множество М ограниченно сверху, то оно имеет бесконечно много верхних границ, т.к. если а- верхняя граница, то любое b >а тоже является верхней границей. Определение 3. Наименьшее из верхних границ ограниченного сверху множества называется точной верхней границей или верхней гранью. Пишут sup M или (supremum (лат) – наивысшее). Пример. М - множество отрицательных целых чисел, . М={x:1≤ x <2}. sup M = 2. Верхняя грань может принадлежать самому множеству М, а может и не принадлежать ему. Если существует такой элемент , , то называется наибольшим или максимальным элементом множества М. Пишут =max M. Если в множестве М имеется наибольший элемент , то sup M = . Определение 3. Наибольшая из нижних границ ограниченного снизу множества М называется точной нижней границей или нижней гранью множества М. Пишут inf M или . (infimum (лат.) - наинизшее). Еслисуществуетэлемент такой, что , , то называется наименьшим элементом множества М. пишут = min M. В этом случае inf M = . Теорема 1. Если непустое множество М действительных чисел ограничено сверху, то оно имеет верхнюю грань. Доказательство. Так как множество М ограничено сверху, то существует действительное число а такое, что , . Возможны два случая. 1)Множество М содержит хотя бы одно неотрицательное число. 2)Все элементы множества М отрицательны. Сначала рассмотрим случай. 1). Отделим все неотрицательные числа и каждое из них представим в виде бесконечной десятичной дроби. Так как все эти числа ≤ а, то среди этих целых частей найдется наибольшая. Обозначим ее через . Сохраним только те числа из М, у которых целая часть равна . У этих чисел рассмотрим первые десятичные знаки. Наибольший из них обозначим через и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим действительное число … … Покажем, что – верхняя грань множества М. Для этого нужно доказать: а) – верхняя граница, т. е. будет ; b) - наименьшая из верхних границ. Это доказать можно так: если - наименьшая из верхних границ, то если взять любое действительное число , то найдется , x . Итак, сначала докажем, что - верхняя граница. Ясно, что . Поэтому для любого отрицательного числа будет x< . Пусть х – произвольное отрицательное число из М, x По построению имеем ≤ . Если < , то x< и - верхняя граница. Если = , то по построению имеем x1 ≤ . Если здесь x1 < , то x< , т. е. - верхняя граница. Продолжая этот процесс неограниченно, получим либо x< , либо бесконечное множество равенств = , x1 = , … , xn = ,… В этом случае х = , т. е. и здесь - верхняя граница. Осталось доказать, что - наименьшая из верхних границ. Возьмем произвольное действительное число х' < , х' = х'0, x'1x'2… x'n … Т. к. х' < , то найдется номер k такой, что х'0 = , x'1= … x'k-1= , x'k < . (1) С другой стороны, число строилась так, что среди элементов множества М найдется число х=х0, x1 х2… xn… такое, что х0 = , x1= … xk-1= , xk = . (2) Сопоставив (1) и (2), имеем х>х', . Таким образом - верхняя грань. Случай 2), когда все элементы множества М отрицательны. Метод доказательства остается тот же. Число строим так: - наименьшая из целых частей (без знака), – наименьший из первых десятичных знаков и т.д. Получим отрицательное действительное число … … Аналогично 1) доказываем, что =supM. Теорема доказана. Теорема 2. Если непустое множество M действительных чисел ограничено снизу, то оно имеет нижнюю грань. (Доказательство аналогично). Следствие. Всякое непустое ограниченное множество действительных чисел имеет верхнюю и нижнюю грани. Если множество M неограниченно сверху (снизу), то никакое действительное число не может являться верхней (нижней) гранью. По определению полагаем supM=+∞ (infM= -∞). Пример. 1) M = {1, . supM = max M =1. inf M = 0. 0 ∉ М, . 2) М = {1,2,…,n,…}. supM =+∞. infM = minM =1. .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (316)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |