Принцип вложенных отрезков
Теорема 1. Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность тоже сходится к тому же пределу, что и последовательность Доказательство. Пусть . Возьмем . Нужно доказать, что для , что выполняется . Т.к. , то , что выполняется . Выберем число K так чтобы . Тогда будет , т.е. . Это означает . Теорема доказана. Теорема 2. Если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху(снизу), то она имеет предел. Доказательство. Пусть не убывает и ограничена сверху. Тогда ограничено сверху множество Е членов этой последовательности. По теореме 1 параграфа 2 множество E имеет верхнюю грань a. Покажем, что a и является пределом последовательности . По определению верхней грани и что . Т.к. не убывает, то при будет и тем более . Т.к. , то получаем , т.е. , . Теорема доказана. Из доказательства видим, что каждый член неубывающей последовательности не больше ее предела. Пример 1. , т.е. последовательность , , , … Последовательность ограничена сверху. Покажем, что , . Используем метод математической индукции. 1. . 2. . => 3. . Убедимся, что монотонно возрастает . По теореме 2 существует . ; ; . . Определение 1. Система числовых отрезков называется системой вложенных отрезков, если . Из определения имеем Теорема 3. Если , то для системы вложенных отрезков существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам системы: , . Доказательство. Последовательность не убывает и ограничена сверху, например числом . Последовательность не возрастает и ограничена снизу. По теореме 2 существуют и . По условию . Тогда . Обозначим общее значение этих пределов через c. Имеем , . Осталось показать, что такая точка единственна. Допустим противное, т.е. пусть существует , , . Пусть . Тогда , откуда . Т.к. , то, переходя к пределу, получим 0 < 0. Противоречие. Следовательно . Теорема доказана. Теорема 3 носит название принципа стягивающихся отрезков. Эта теорема и теорема 1 параграфа 2 о существовании верхней грани – разные формы доказательства непрерывности множества R действительных чисел.
Число e
. Определена при , т.е. . Рассмотрим . 1.Сначала найдем . Обозначим , . Если существует , то такой же предел имеет , т.к. . монотонно убывает. . ограничено снизу, т.к. , . Значит, имеет предел, который обозначим через e. Т.к. , , , то . 2. Пусть теперь . Обозначим . Тогда . Отсюда , (1) Если , то . ; . По теореме о пределе промежуточной переменной (параграф 18) из (1) имеем (2) 4. Докажем, что (3) Положим . При будет . .
5. Докажем, что (4) Возьмем . Из (2) и (3) следует, что найдутся числа и , что , и , . Пусть . Тогда , и , т.е. при . Это означает (4). Положим . Если , то . . . Логарифмы по основанию e называют натуральными логарифмами и обозначают . Пример.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (229)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |