Свойства функции, имеющей предел
Теорема 1. Если и A < C, то существует окрестность точки x0 такая, что во всех точках этой окрестности, кроме, быть может, самой токи x0, выполняется неравенство . Доказательство. Возьмем ε = C – A. Так как , то такое, что при выполняется , т.е. . Теорема доказана. Теорема 2. Если и A > C, то существует окрестность точки x0 такая, что во всех точках этой окрестности, кроме, быть может, самой токи x0, выполняется неравенство . Доказательство. Возьмем ε = A – C. , что при выполняется , т.е. . Но и в этой окрестности. Теорема доказана. Теорема 3. Если и для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то . Доказательство. От противного. Пусть A > C. Тогда по теореме 2 из некоторой окрестности будет . Противоречие с условием теоремы. Теорема доказана. Теорема 4. Если функция имеет предел в точке , то она ограничена в достаточно малой окрестности этой точки. Доказательство. Пусть . Возьмем . , что при всех x, . Так как , то , т.е. , . Теорема доказана. Бесконечно малые функции Определение1. Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при , если Полагая в определении предела функции в точки по Коши A = 0, определение 1 запишем: называется бесконечно малой, если такое, что , выполняется неравенство . Теорема 1. тогда и только тогда, когда из достаточно малой окрестности токи , где – бесконечна малая при . Доказательство. Необходимость. Пусть , т.е. , что . Обозначим . Тогда для тех же x, т.е. – бесконечна малая и . Достаточность. , – бесконечна малая в токи , т.е. , . Значит при тех же x, т.е. . Теорема доказана. Лемма 1. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Доказательство. Пусть и – две бесконечно малые в точке . Возьмем . Для , что . (1) и , что . (2) Пусть min{ } = . Если , то (1) и (2) выполняются одновременно. Имеем , т.е. - бесконечно малые в точке . Лемма доказана. Лемма 2. Пусть функция ограничена в некоторой окрестности точки , а – бесконечна малая в токе . Тогда – бесконечно малая в точке . Доказательство. По условию теоремы . Возьмем . Т.к. – бесконечно малая в точке , то для найдется , что . Пусть min{ } = . Тогда если , то = ε. Лемма доказана. Следствие 1. Произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малая. Следствие 2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.
Теоремы о пределах функций Предел абсолютной величины. Теорема 1. Если , то . Доказательство. Дано , т.е. , если , , т.е. . Кратного . Таким образом , , , . Теорема доказана. Предел суммы. Теорема 2. Если в точке существуют пределы функции и , то существуют и пределы функций , причем . Доказательство. Пусть , . По теореме 1 параграфа 15 , , и – бесконечно малые в точке . . По лемме 1 параграфа 15 – бесконечно малые в точке . Снова по теореме 1 параграфа 15 . Теорема доказана. Легко обобщить на любое конечное число слагаемых.
Предел произведения. Теорема 3. Если в точке существуют пределы функции и , то существуют и пределы функции , причем . Доказательство. Пусть , . Тогда , , . Скобка – бесконечно малая в точке . . Теорема доказана. Следствие 1. , c – const. Действительно, . Следствие 2. , k – натуральное число. Действительно, . Предел частного. Теорема 4. Если в точке существуют пределы функции и , причем , то существует и предел функции , причем . Доказательство. Пусть , . Рассмотрим разность . Здесь . Т.к. , то по теореме 2 параграфа 14 в достаточно малой окрестности точки будет , т.е. 0 < < . Так что ограничена в соответствующей окрестности точки . Числитель является бесконечно малой при , т.к. . В итоге . Теорема доказана. Пример. .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (310)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |