Непрерывность функции в точке
1) в точке не определена; 2) в точке определена, но 3) в точке определена и В особый класс функций выделяются те, у которых имеет место случай . Определение 1. Функция , определенная на , называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. Используя определения предела, получим эквивалентые определения. Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности { }, , , , соответствующая последовательность значений функции { } сходится к . Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если такое, что , | |< выполняется неравенство | - )|< . В определении предела функции в точке имеется еще условие ( ). В определениях 2 и 3 эти условия не нужны, т.к. в точке должна быть определена. Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается через ;разность называется приращением функции в точке и обозначается через ).Любое значение аргумента + , причем при и при . Соответственно . Определение 4. Функция называется непрерывной в точке , если такое, что выполняется неравенство | |< , если | |< . Это определение означает, что в точке является бесконечно малой функцией от , если . Определение 5. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. =0.
2 Свойство непрерывности является локальным свойством, т.е. зависит от поведения функции лишь вблизи точки . Функция может быть непрерывна в одних и не быть таковой в других точках. Пример 1. . . . Пример 2. . . Пример 3. . . . . Пример 4. . При | |≤ имеем | |≤| | (см. параграф 19). Если | |> , то | |< | |, т.к. | |<1. Так что | |≤| |, | |= | - |=|2 |≤2∙1∙ , т.е непрерывна в любой точке. Если известно, что функция непрерывна в точке , то при вычислении предела достаточно приравнять его Пример 5. .
26. Непрерывность суммы, произведения, частного Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то функции непрерывны в точке . Если, кроме того, ( , то непрерывна в точке . Доказательство. Доказательство следует из соответствующих свойств пределов функций (параграф 17). Т.к. доказательство во всех случаях одинаково, то рассмотрим один из случаев. Докажем для . Пусть = , = . = ∙ = ∙ . Теорема легко распространяется на любое конечное число функций. Пример 1. +…+ + . . 3 Функция непрерывна в любой точке тоже непрерывна в любой точке . Тогда непрерывна в любой точке как сумма непрерывных функций.
Пример 2. = . - все действительные числа, кроме нулей знаменателя. Числитель и знаменатель непрерывны . Следовательно, непрерывна в любой точке, в которой знаменатель отличен от нуля.
27. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность сложной функции Теорема 1. Пусть задана сложная функция ( и пусть , а функция непрерывна в точке . Тогда Доказательство. По условию ,
Из следует, что >0 такое, что | )| , , | | Из по указанному >0 найдется >0 такое, что| |< , x ≠ . Т.о. , | выполняется неравенство | , а следовательно и неравенство | - | . Это означает, что .Теорема доказана. Теорема 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке ) . Тогда сложная функция ( ) ) непрерывна в точке . Доказательство. Из определения непрерывности функции в точке следует, что определена в некоторой окружности точки . Из непрерывности функции и определения сложной функции 4 следует, что сложная функция определена в некоторой окрестности точки . Значит, имеет смысл говорить о непрерывности этой функции в точке . У нас выполняются все условия теоремы 1, причем . Поэтому т.е. непрерывна в точке . Теорема доказана. Пример 1. . Непрерывна в любой точке (параграф 27,пример 4). . Непрерывна в любой точке . ) непрерывна по теореме 2 в любой точке . Пример =( . Здесь непрерывна при
28. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва Определение 1. Если , то называется непрерывной слева, а если , то называется непрерывной справа в точке . Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда непрерывна в точке как слева, так и справа (теорема 1, параграф 20). Пример 1. .
Функция непрерывна справа, не является непрерывной слева. Определение 2. Точка называется точкой разрыва функции , если не выполняется условие . Если - точка разрыва функции f(x), то 1. либо не существует ; 2. либо не определена в точке ; 3. либо определена в точке и имеет предел в этой точке, но . 5 Определение 3. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 1 рода, если существуют конечные односторонние пределы (оба) и . Величина ( называется скачком функции в точке . Если то точка называется точкой устранимого разрыва, а разрыв устранимым. Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2 рода, если хотя бы один из односторонних пределов в точке не существует. Здесь как и всегда под пределом понимаем конечное число. Разрыв 2 рода называется бесконечным, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Пример 1. , . В точке разрыв 1 рода. Скачок Пример 2 .
. В точке разрыв 1 рода, устранимый. Доопределив , устраняем разрыв. Новая функция непрерывна . Пример 3. . Но Разрыв 1 рода , устранимый. Положив , получим непрерывную функцию. Пример 4. . не существуют. (параграф 11, пример 3). Разрыв 2 рода. Пример 5. ; , .Разрыв 2 рода, бесконечный.
29. Пределы и точки разрыва монотонной функции Теорема 1. Если функция не убывает на , то в точках и существуют конечные или бесконечные пределы , . Если не возрастает на , то , . Доказательство. Пусть не убывает на , и ограничена сверху. Тогда существует верхняя грань множества всех значений функции для По определению верхней грани что Возьмем Т.к. ≥ , то при - будет Т.к. произвольно, то это означает, что Если не убывает и неограниченна сверху на , то что Возьмем . ( ) имеем , т.е. . Для неубывающей функции доказательство аналогично. Следствие. Если функция монотонна на , то в каждой точке интервала она имеет конечные пределы как слева, так и справа. Доказательство. Пусть не убывает на . будет )≤ )≤ ), где ( ), . Поэтому ) . Пределы и существует по теореме 1 и конечны по предыдущему неравенству. Теорема 2.Если функция монотонна на , то она может иметь разрывы только 1 рода. Доказательство. Все значения функции заключены между и , т.е. ограничена на . В функция имеет конечные односторонние пределы и +0) в силу следствия теоремы 1. Тогда если -точка разрыва, то это разрыв 1 рода. Теорема доказана.
30. Промежуточные значения непрерывной функции Определение 1. Функция называется непрерывной на ,если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция непрерывна на , если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке . Непрерывность на промежутках других видов определяется аналогично. Теорема 1 . ( теорема Больцано ).Если непрерывна на и на концах сегмента принимает значения разных знаков, то существует по крайней мере одна внутренняя точка этого сегмента в которой . Доказательство. Пусть для определенности , . Разделим пополам точкой . Если )=0, то теорема доказана. Если , то на концах одной из половин функции принимает значения разных знаков. Обозначим эту половину через [ , ) < 0, ) > 0. Снова разделим [ ] пополам. Если ) 0, то теорема доказана. Если нет, то имеем [ ], )<0, )>0 и т.д. Могут быть две возможности. 1) )=0 при некотором . Теорема доказана. 2) Процесс продолжается неограниченно. Имеем систему вложенных сегментов [ ] ⊃…⊃[ ] ⊃ 0. По принципу вложенных отрезков ( параграф 23,теорема 3) существует единственная точка такая, что , , . По условию теоремы функция непрерывна на т.е. непрерывна и в точке . Значит , .Т.к. , , то, переходя здесь к пределу получаем , , Т.к. ,то ; , то ; 8 так что . Теорема доказана. Теорема 2. Если непрерывна на и на концах сегмента принимает не равные значения, то функция на принимает любое значение, промежуточное между и . Доказательство. Пусть - произвольное число, удовлетворяющее условию Рассмотрим функцию . Она непрерывна на причем и . По теореме 1 т.е. .Теорема доказана.
33. Непрерывность обратной функции Определение 1. Функция называется инъективной, если для любых двух различных точек , функции тоже различны. Пусть инъективна. Возьмем любую точку . Для нее найдется что , причем другой точки , , нет. Если таким образом каждой точке мы поставим в соответствие ту единственную точку , для которой ,то на множестве Е будет определена некоторая функция переменной . Эта функция называется обратной по отношению к функции и обозначается через . Так что обратную функцию можно определить только для инъективной функции. Из определения 1 следует, что тоже инъективна и имеют место равенство: ( , Пример 1. 1) . . Инъективна . 2) . . На она не инъективна, т.к. На множестве функция инъективна и здесь Теорема 1. Всякая строго монотонная функция имеет обратную функцию. Доказательство. Пусть монотонно возрастает, т.е. при < имеем < . Это значит, что инъективна и потому имеет обратную функцию. Теорема доказана. Если функция строго кусочно-монотонна в , то можно разбить на промежутки так, что в ка
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (312)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |