Динамические межотраслевые модели

Динамическая модель МОБ – система уравнений межотраслевого баланса, в которую дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей, например,  капитальных вложений и основных фондов, что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов t и ( t -1).

Принципиальная схема первых двух квадрантов динамического трехотраслевого МОБ приведена в табл. 10.14. Схема МОБ содержит две матрицы межотраслевых потоков: элементы матрицы текущих производственных затрат x_ij совпадают ссоответствующими элементами матрицы статического баланса; элементы второй матрицы  показывают количество инвестиционной продукции (здания, оборудования) i-й отрасли, направленное в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве капиталовложений в ее основные фонды, т.е. отражают технологическую структуру инвестиций.

Динамическая модель отражает структуру  динамического МОБ и в ней выделяются из состава конечной продукции поставки отраслей для инвестиционных целей , и поставки отраслей для прочих элементов конечного использования (конечное потребление, прирост материальных оборотных средств, экспорт, импорт) :

.

Таблица 10.14

Схема динамического МОБ в денежном выражении

Отрасли-производи- тели	Отрасли-потребители						Конечное использование (исключая ВН)
	Промежуточные затраты			Потоки капитальных вложений
	1	2	3	1	2	3
1	x11	x12	x13
2	x21	x22	x23
3	x31	x32	x33

 

Базовая динамическая модель МОБ. Модель отчетного МОБ (10.5) с учетом обозначенных выше отличий перепишется в виде:

                                (10.30)

В отличие от потоков промежуточных затрат потоки капитальных вложений связаны не со всей величиной выпуска продукции, а обусловлены приростом продукции, причем в базовой динамической модели МОБ предполагается, что прирост продукции текущего периода обусловлен вложениями этого же периода, т.е.

Коэффициент  называется коэффициент вложений или коэффициент приростной фондоемкостии показывает какое количество продукции i -й отрасли должно быть вложено в j -ю отрасль для увеличения производственной мощности j -й отрасли на единицу. Коэффициент рассчитывается по формуле:

.                                          (10.31)

Коэффициенты приростной  фондоемкости  образуют квадратную матрицу n–го порядка:

,

каждый столбец которой характеризует для соответствующей j -й  отрасли величину и структуру фондов, необходимых для увеличения на единицу ее производственной мощности (выпуска продукции).  

Заметим, что коэффициенты приростной  фондоемкости  в определенных условиях связаны с коэффициентами прямой фондоемкости . Последние показывают, сколько всего фондов приходится на единицу валового выпуска продукции, а  отражают прирост фондов на единицу прироста валового выпуска. Если бы технический прогресс в отраслях производства отсутствовал, то на единицу прироста продукции потребовалось бы столько же новых фондов, сколько их уже занято на единицу выпускаемой продукции, т.е. . Так как новое оборудование производится на новом более высоком техническом уровне по сравнению с действующими фондами, то на практике коэффициенты приростной  фондоемкости отличаются от коэффициентов прямой фондоемкости. Однако между этими двумя группами коэффициентов существует вполне определенная связь и это используется при разработке динамических моделей, особенно в связи с тем, что достоверные данные о фондоемкости получить легче, чем рассчитать коэффициенты приростной  фондоемкости.

Пример 10.14. Для данных примера 10.1 имеется схема отчетного МОБ вида:

Таблица 10.15

Схема динамического МОБ (млрд. д.е.)

Отрасли-производи- тели	Отрасли-потребители								Конечное использование (исключая ВН)	Валовой выпуск
	Промежуточные затраты				Потоки капитальных вложений
	1	2	3	4	1	2	3	4
1	52	5,4	0,48	2,4	7,5	2,5	4,5	1,0	24,22	100
2	7	15,75	0,36	1,44	-	-	-	-	20,45	45
3	4	1,35	3,6	1,68	0,5	0,2	0,5	0,17	-	12
4	5	1,35	0,48	2,4	-	-	-	-	2,77	12
Итого	68	23,85	,92	7,92	8	2.7	5.0	1.17	47,44	169

 

Учитывая, что в сравнении с предыдущим периодом прирост валового выпуска по всем отраслям составил 10%, рассчитать матрицу коэффициентов приростной фондоемкости.

Решение.  Для расчета коэффициентов приростной фондоемкости  воспользуемся формулой (10.31), предварительно рассчитав вектор абсолютных приростов валового выпуска отраслей: (10; 4,5; 1,2; 1,2). Тогда матрица коэффициентов приростной фондоемкости будет иметь вид:

 

= (млрд. д.е./ млрд. д.е.).

 

Модель МОБ(10.30)  с учетом (10.7) и (10.31), запишется в виде:

                          (10.32)

Если учесть, что , а все остальные переменные относятся к периоду t, получим :

Или после преобразования:

            (10.33)

Модель в виде (10.33) представляет собой базовую динамическую модель МОБ и позволяет реализовать сценарные расчеты по сбалансированной увязке темпов роста валового выпуска отраслей  с величиной и структурой конечного спроса , обеспечивая при этом дополнительный расчет необходимых для этого объема и структуры капиталовложений _, .

Предположения модели:

1. экономика характеризуется полной загрузкой производственных мощностей; в результате   прирост производства  осуществляется за счет капвложений .

2. прирост производства за период (t, t-1)обусловлен вложениями этого же периода

3. величина капвложений пропорциональна приросту продукции.

Пример 10.15.  Пусть экономика описывается взаимосвязями примера 10.3. В прогнозном периоде оценивается рост текущего конечного спроса первой отрасли на 20%. Требуется определить необходимые для этого размер и структуру инвестиций.

Решение. Ориентируясь на матрицу прямых затрат данного МОБ (см. пример 10.3) , сформируем для данного примера модель вида (10.33):

.

Если решить систему, то получим (млрд. д.е.), (млрд. д.е.), (млрд. д.е.), (млрд. д.е.). Т.е. увеличение текущего конечного спроса на продукцию первой отрасли на 20% приведет к росту валового выпуска продукции в целом по экономике на 10,8%, причем в первой отрасли на 14,3%, второй – на 4%, третьей – на 10%, четвертой – на 8%.

На основе решения системы потоки капитальных вложений определяются в виде:

=

 

(млрд. д.е.).

Тогда сумма капвложений, необходимых для обеспечения данного прироста конечного спроса составит:

 

18,5(млрд. д.е.).

Отраслевая структура капвложений будет иметь вид:

11,45(млрд. д.е.), 1,08(млрд. д.е.), 5,0(млрд. д.е.), 0,97(млрд. д.е.). Иными словами, для того, чтобы обеспечить указанный прирост конечного спроса требуется увеличение роста производства, что, при условии полного использования производственных мощностей, потребует увеличения капвложений на 18,5 (млрд. д.е.) в следующей структуре 62% - в промышленность, 6% - в сельское и лесное хозяйство, 27% - в строительство, 5% -в услуги.

Полученные данные позволяют определить и технологическую структуру капвложений:

в активную часть фондов 17,06 (млрд. д.е.) или 92%,

в пассивную часть фондов 1,44 (млрд. д.е.) или около 8%.

Замечание 10.1. В реальной экономике предположения динамической модели МОБ часто не выполняются. Например, жестким является ограничение о том, что прирост продукции текущего периода обусловлен капиталовложениями , произведенными в этом же периоде: известно, что существуют значительные временные лаги между вложениями средств в производственные фонды и приростом выпуска продукции. Преодоления этих допущений возможны на основе использования модифицированных динамических моделей, теоретической базой которых выступают, например, модели Неймана. Также для современной белорусской экономики проблематичным является допущение о полной загрузке производственных мощностей. Учесть это условие представляется возможным за счет корректировки входной информационной базы с учетом степени загрузки производственных мощностей. 

 

Оптимизационная динамическая модель межотраслевого баланса. Формальное описание оптимизационной динамической модели МОБ определяется целями экономического развития в период t , что определяет неоднозначность ее представления.  Приведем оптимизационную динамическую модель МОБ, которая представлена в [16]. Для ее описания введем следующие обозначения.

Пусть национальная экономика страны состоит из n отраслей. Будем считать, что время меняется дискретно: t=0,1,2,…T, где число Т называют горизонтом планирования. Будем предполагать, что для каждого периода t известна матрица коэффициентов прямых затрат A(t)=||a_ij(t)||_n и матрица капитальных затрат B(t)=||b_ij(t)||_n. Элемент a_ij(t) матрицы A(t) выражает затраты продукции i-й отрасли, необходимые для производства единицы валовой продукции j-й отрасли в момент t, а элемент b_ij(t) матрицы B(t) – затраты инвестиционной продукции i-й отрасли на обеспечение прироста производственной мощности  на одну единицу в j-й отрасли в момент t . Элементы матриц A(t) и B(t) изменяются во времени под влиянием технического прогресса.

Пусть с(t)=(с₁(t)_,с₂(t),…,c_n(t))^T – вектор конечного спроса на продукцию в момент t , а m(t)=(m₁(t)_,m₂(t),…,m_n(t))^T – вектор производственных мощностей в момент t . Будем считать, что производственная мощность i-й отрасли m_i(t)_, i=1,2,…,n , измеряется в единицах продукции i-й отрасли. Через Dm(t)=(Dm₁(t)_,Dm₂(t),…,Dm_n(t))^T обозначим вектор прироста производственных мощностей в момент t , а через s(t)=(s₁(t)_,s₂(t),…,s_n(t))^T – вектор производственных запасов продуктов в момент t . Пусть x(t)=(x₁(t)_,x₂(t),…, x_n(t))^T – вектор валового выпуска в момент t . Тогда оптимизационная динамическая модель межотраслевого баланса может быть записана в виде [16]:

 ,                                      (10.34)

, (10.35)

 ,                                      (10.36)

 ,                                                      (10.37)

 ,                                (10.38)

где l(t)=(l₁(t)_,l₂(t),…,l_n(t)) – вектор прямых затрат труда (вектор трудоемкостей) в момент t ; h(t)=(h₁(t)_,h₂(t),…,h_n(t)) – вектор затрат труда на создание единицы каждого вида новых производственных мощностей.

     Для начального периода t=0 считаются заданными вектор начальных производственных мощностей m(0) и вектор начальных производственных запасов продуктов s(0). Для всех периодов также заданы вектора с(t), l(t), h(t).

     Целевая функция (10.34) представляет собой критерий минимизации затрат труда, необходимых для производства продукции и создания новых производственных мощностей для всех периодов, а ограничения (10.35)-(10.38) описывают динамику развития экономики на заданный период. Уравнения (10.35) называются основными балансовыми уравнениями модели (10.34)-(10.38).

     Предложенная динамическая оптимизационная модель межотраслевого баланса позволяет не только рассчитать валовые выпуски по отраслям, но и определить динамику роста производственных мощностей и производственных запасов продукции, а также обеспечить минимальные затраты трудовых ресурсов, используемых при производстве продукции и создании новых производственных мощностей на выбранном промежутке времени.

     Возникает естественный вопрос: при каких условиях модель (10.34)-(10.38) является разрешимой? Иначе говоря, может ли быть удовлетворен заданный спрос с(1)_,с(2),…,c(Т), если известны начальные производственные мощности m(0) и начальные производственные запасы s(0)? Пусть начальные производственные мощности m(0) и начальные производственные запасы s(0) таковы, что за счет них может быть удовлетворен конечный спрос для всех периодов. Тогда в этом случае нет необходимости в создании новых производственных мощностей и запасов. Поэтому, если положить Dm(t)=0, Ds(t)=s(t)-s(t -1)=0, t=1,2,…T, то из уравнения (10.35) получаем:

Эти уравнения представим в виде

где E – единичная матрица порядка n.

В предположении, что матрица (E - A(t)), t=1,2,…T,-  невырожденная, справедливы соотношения:

      

Так как в рассматриваемом случае , то отсюда получаем следующие неравенства:

                       (10.39)

         (10.40)

Если неравенство (10.39) не выполняется, то задача (10.34)-(10.38) не разрешима, поскольку начальных производственных мощностей и начальных производственных запасов продукции не достаточно для удовлетворения конечного спроса первого периода.

Если же неравенство (10.39) выполняется и хотя бы для одного t*Î{2,3,…,T} неравенство (10.40) не выполняется, то задача (10.34)-(10.38) также не разрешима. В этом случае нужно наращивать производственные мощности и создавать дополнительные производственные запасы продукции, чтобы удовлетворить заданный спрос.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий описанную модель.

 

Пример10.16. Рассмотрим двухотраслевую экономическую систему и ее развитие в три периода (года). Заданы матрицы коэффициентов прямых затрат и капитальных затрат, которые постоянны (одни и те же) для каждого периода:

Заданы также следующие вектора:

1) конечного спроса для каждого периода

2) начальных производственных мощностей

3) начальных производственных запасов

4) трудоемкостей для каждого периода

l(1)=(2; 3)_, l(2)=(1,8; 2,7), l(3)=(1,7; 2,5),

h(1)=(10; 20)_, h(2)=(9,5; 18)_, h(3)=(9; 17)_.

Требуется определить, как будет развиваться эта экономическая система в заданном трехлетнем периоде при условии, чтобы затраты труда за весь период были минимальными.

Решение. Запишем математическую модель этой задачи.

Ограничения:

· для первого года

· для второго года

· для третьего года

все переменные x₁₁, x₁₂, x₂₁, x₂₂, x₃₁, x₃₂, Dm₁₁, Dm₁₂, Dm₂₁, Dm₂₂, Dm₃₁, Dm₃₂, m₁₁, m₁₂, m₂₁, m₂₂, m₃₁, m₃₂, s₁₁, s₁₂, s₂₁, s₂₂, s₃₁, s₃₂ – неотрицательные.

       Целевая функция, выражающая общие затраты труда, имеет вид:

      

Эта функция при вышеперечисленных ограничениях должна достигать наименьшего значения. Построенная модель представляет собой задачу линейного программирования с 18 ограничениями и 24 переменными.

Решив данную задачу на компьютере, получим следующие результаты (см. таблицу 10.16).

Таблица 10.16

Развитие экономической системы в заданном трехлетнем периоде

Годы	Показатели	Отрасли
		1	2
1	Объемы производства Производственные мощности Приросты производственных мощностей Производственные запасы	180,3 180,3 100,3 37	253,9 253,9 143,9 31,2
2	Объемы производства Производственные мощности Приросты производственных мощностей Производственные запасы	180,3 180,3 0 28,5	253,9 253,9 0 25,6
3	Объемы производства Производственные мощности Приросты производственных мощностей Производственные запасы	180,3 180,3 0 0	253,9 253,9 0 0

       На основании таблицы 10.16  можно сделать следующие выводы:

· необходимые производственные мощности создаются в первом году, а во втором и третьем годах наращивание мощностей не происходит;

· производственные запасы продукции убывают и в третьем году достигают нулевого уровня;

· объемы производства в каждой отрасли по годам одинаковы и составляют в первой отрасли – 180,3 единиц, а во второй отрасли – 253,9 единиц.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

 

1. Что такое модель МОБ? Какой математический вид имеет модель МОБ?

2. Какой класс экономических задач решают модели МОБ на макроуровне?

3. Какие задачи бюджетирования могут решать модели МОБ на уровне предприятий.

4. Раскройте экономическое содержание каждого квадранта МОБ.

5. Исходя из схемы МОБ, предложите три способа расчета ВВП.

6. Дайте экономическую интерпретацию балансовых уравнений, связывающих первый и второй квадранты отчетного МОБ.

7. Дайте экономическую интерпретацию балансовых уравнений, связывающих первый и третий квадранты отчетного МОБ.

8. Как связаны отчетный МОБ и прогнозная модель МОБ?

9. В чем различие отчетной и прогнозной модели МОБ?

10. Какова математическая структура моделей МОБ.

11. Укажите основные методы решения системы одновременных линейных уравнений.

12. Укажите условия разрешимости системы одновременных линейных уравнений.

13. Что такое коэффициенты прямых затрат и укажите способы их расчета.

14. Что такое коэффициенты полных затрат и укажите способы их расчета.

15. Укажите связь материалоемкости отраслей и матрицы коэффициентов прямых затрат.

16. Как связаны коэффициенты прямых и полных затрат

17. Сформулируйте критерии разрешимости базовой модели МОБ.

18. Сформулируйте достаточные условия разрешимости базовой модели МОБ.

19. Укажите количественные отношения между элементами матриц коэффициентов прямых и полных затрат.

20. Учитывая, что элементы матрицы прямых затрат имеют погрешность расчетов, как провести корректировку матрицы в рамках заданных интервалов погрешностей, чтобы обеспечить разрешимость модели МОБ.

21. Укажите основные факторы, формирующие структурные сдвиги валового выпуска в периоде [  ].

22. Укажите основные факторы, определяющие изменение материалоемкости валового выпуска в периоде [  ].

23. Предложите модель для оценки влияния технологических изменений на структурные сдвиги валового выпуска в периоде [  ].

24. Предложите модель для оценки влияния технологических изменений на изменение материалоемкости валового выпуска в периоде [  ].

25. Предложите модель для оценки влияния конечного спроса на структурные сдвиги валового выпуска в периоде [  ].

26. Предложите модель для оценки влияния материалоемкости отраслей на изменение материалоемкости валового выпуска в периоде [  ].

27. За счет включения каких зависимостей расширяются аналитические возможности модели МОБ в части описания динамики факторов производства в прогнозном периоде. Какая для этого требуется дополнительная информация.

28. В чем состоит модификация модели МОБ на уровне предприятий.

29. Какая информация требуется для реализации модели МОБ на уровне предприятий.

30. В чем отличие статической и динамической модели МОБ.

31. Какая дополнительная информация требуется для реализации динамической модели МОБ.

32. Какую дополнительную аналитическую информацию предоставляет динамическая модель МОБ.

33. Какие команды Excel позволяют количественно решать модели МОБ?

34. Какие команды MatLab  позволяют количественно решать модели МОБ?

35. С помощью каких команд Excel можно рассчитать матрицу полных затрат?

36. С помощью каких команд MatLab  можно рассчитать матрицу полных затрат?

37. Как провести многовариантные сценарные расчеты по модели МОБ.