Теорема 1. Формула Грина.
Пусть в области , граница которого - замкнутый контур , являющийся односвязным множеством, задано плоское векторное поле . Тогда верна такая формула: . То есть, работа силы по границе области равна двойному интегралу от величины по этой плоской области. Доказательство (ДОК 1). Спроецируем область на ось Ох, обозначим границы проекции: точки . Сама граница области тогда условно подразделяется на две линии, снизу , а сверху . Чтобы движение по замкнутому контуру происходило против часовой стрелки, надо по двигаться слева направо, а по справа налево.
Рассмотрим подробнее интеграл от функции по границе области. В соответствии со всем сказанным, он может быть записан так: . Но во втором интеграле можно изменить на , сменив знак. и их можно объединить = разность, которая внутри интеграла, является результатом применения формулы Ньютона-Лейбница по переменной : запишем это в виде: . Но если формула Ньютона-Лейбница применяется к , значит, это первообразная по , а она очевидно, является первообразной от своей производной . То есть: = а этой как раз и есть двойной интеграл по области D. = . Аналогично можно спроецировать область D на ось Оу, допустим проекция займёт некоторый отрезок . Левую и правую линии, составляющие замкнутый контур, обозначим и . Правая здесь будет (она дальше от оси Оу). Тогда = = = = = . Сложим два полученных равенства и получается двойной интеграл .
Пример. Решим тот же самый пример, что рассматривали недавно, работа поля при движении точки по единичной окружности, но сделаем это теперь по формуле Грина. . Тогда = = где D - круг радиуса 1. Тогда интеграл от 1 это его площадь. = = .
Потенциальные поля
Скалярное поле, или скалярная функция: . Векторная функция, которая отображает называется векторным полем. Заметим, что градиент скалярной функции - это векторная функция: , , То есть, по скалярному полю всегда можно построить некоторое векторное. Пример: . Тогда .
Обратная задача: если даны некоторые 3 скалярные функции, т.е. векторное поле, всегда ли они являются частными производными какой-то единой скалярной функции? Оказывается, нет. Определение. Если существует такая скалярная функция , что выполняется , , , (то есть их общая первообразная), то векторное поле называется потенциальным, а функция называется потенциалом поля .
Кстати, если - потенциал, то - тоже потенциал, ведь , , . Потенциал определяется с точностью до константы (точно так же как и первообразная). Именно поэтому в физике важна именно разность потенциалов, а не сам потенциал.
Примеры. Пример не потенциального поля. . Первообразная от 1 компоненты по это , однако первообразная по от второй компоненты совсем другая: , они не совпадают. Пример потенциального поля. . Его потенциал: .
Далее нам надо научиться выяснять 2 вопроса: 1) выяснять, является ли поле потенциальным. 2) вычислять потенциал, если оно потенциально. Теорема 2. Криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути циркуляция по замкнутому контуру равна 0.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (197)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |