Дифференцирование комплексных функций
Функция фактически задаёт отображение плоскости в плоскости, то есть пара действительных чисел отображается в пару чисел . Для двух функций и существуют 4 частных производных: . Определение производной. Производной функции в точке называется следующий предел: . Также можно кратко записать в виде . Заметим, что все величины в этой дроби, существуют и вычислимы, ведь здесь частное от разностей комплексных чисел. Определение дифференцируемости. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции можно представить в виде: , где некоторое комплексное число, - бесконечно малая более высокого порядка, чем . Заметим, что если функция дифференцируема, то , но тогда т.е. тогда , т.е. константа . Геометрический смысл производной. Так как с точностью до бесконечно-малой, можно представить , а это линейное отображение, изученное в конце прошлой лекции, то в малой окрестности отображение представимо в виде растяжения и поворота, где это угол поворота, а - коэффициент растяжения.
Изучим взаимосвязь дифференцируемости с дифференцируемостью координатных функций и . Теорема 1. Функция дифференцируема и дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана: и . Доказательство (ДОК 10). Запишем подробнее равенство . . Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в которых есть и в которых нет мнимой единицы.
Получается такая система из двух равенств: Если в 1-м уравнении рассмотреть приращение только по оси , тогда , то = , так как бесконечно малая более высокого порядка, так что при делении на величину первого порядка предел равен 0. Итак, . Если теперь во 2-м уравнении рассмотреть приращение только по оси , то аналогично получится = , т.е. . Итак, . По аналогии с этими рассуждениями, если в 1-м равенстве вычислять предел при сдвиге только по оси , а во 2-м по , получим , , откуда второе условие Коши-Римана . А для доказательства достаточности, можно наоборот, сложить два равенства:
, умножив при этом второе на . Если выполнены условия Коши-Римана, то 4 коэффициента при этом не являются 4-мя разными числами, а попарно совпадают, то мы как раз и получим: □ Вывод. Итак, и должны быть взаимосвязаны, т.е. если мы произвольно зададим две какие-то функции , и составим из них , то не всегда получим какую-то дифференцируемую комплексную функцию. Пример. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции . = = = . , . , они равны (1-е условие Коши-Римана). , они противоположны ( а это и есть 2-е условие Коши-Римана). А сейчас мы рассмотрим функцию, для которой не выполнены условия Коши-Римана. Пример. . Тогда , . Не выполняется 1-е условие: , , они не равны ни в одной точке. Геометрически это означает, что зеркальное отражение плоскости невозможно представить в виде композиции растяжения и поворота, то есть невозможно равенство из условия дифференцируемости . Теорема 2. дифференцируемая функция векторные поля и являются потенциальными. Доказательство (ДОК 11). Вспомним условие потенциальности поля , а именно, . Для векторного поля в таком случае, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно первому условию Коши-Римана . Для векторного поля соответственно, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно второму условию Коши-Римана: . . Определение. Если функция дифференцируема и в самой точке , и во всех точках некоторой её окрестности, то она называется аналитической в точке . Пример. Для функции условия Коши-Римана выполняются независимо от точки, то есть во всех точках плоскости, тогда для каждой точки они автоматически выполнены и во всей её окрестности. Таким образом, аналитическая во всех точках комплексной плоскости. Различие понятий аналитичности и дифференцируемости видно на другом примере. Пример. . Распишем её через . = = . Здесь , . , . 1-е условие Коши-Римана выполняется только при , . 2-е условие Коши-Римана выполняется только при . Таким образом, единственная точка в плоскости, где выполнены условия Коши-Римана, это (0,0). Но ни в одной точке из её окрестности они не выполняются, а только в одной изолированной точке . То есть, в начале координат функция дифференцируемая, но не аналитическая.
Теорема 3. Если функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из её частей (действительной и мнимой) в этой области выполняется уравнение Лапласа: и .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (213)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |