Доказательство (ДОК 8).
, это означает так как синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного . Это равенство уже очевидно, так как это и есть тригонометрическая форма комплексного числа. Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось. Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует . Пример. Вычислить . Здесь , . Поэтому = . Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее. Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:
ЛЕКЦИЯ 3. 16.09.2019 Для всякой функции можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде . Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.
Пример. Разложить на действительную и мнимую часть, изобразить искажения плоскости при переходе . 1) = = = . Таким образом, , . Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом изменяется от до , пусть движение задано с помощью параметра : . Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости . Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой: . Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше. На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы: Пример. Разложить на действительную и мнимую часть. Используем то, что нашли ранее: , тогда = = . Здесь Пример. Разложить на действительную и мнимую часть. По формуле Эйлера: = = = = , тогда , .
Изучим деформации плоскости при действии линейной функции вида , где коэффициенты , это тоже некоторые комплексные числа. При этом очевидно, что приводит к сдвигу плоскости на вектор , поэтому сначала более подробно изучим именно без сдвига. = . Но такое отображение можно представить с помощью линейного оператора: = . Введём величину , тогда существует какой-то угол , для которого , . Причём заметим, что это именно , для исходного комплексного числа. Тогда матрица линейного оператора имеет вид: то есть это композиция растяжения и поворота плоскости, причём поворот на угол , а растяжение или сжатие на . (ДОК 9). Доказать что линейное отображение в комплексной плоскости есть композиция растяжения, поворота и сдвига.
На этом чертеже показано, как изменяется плоскость при линейном отображении. Красным веделено горизонтальное направление, после отображения оно повёрнуто. Замечание. Отображение соответствует зеркальному отражению плоскости, т.е. оно не сводится к композиции поворота и растяжения.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (213)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |